努力三十天，我要上大三
顺便问个问题：为啥今天有50多个人关注，真让小周受宠若惊！（众所周知做这种专业课的公众号一般人数都是很难提升的！）希望hxd后台告诉下原因
本节我们继续介绍有关理想的内容，写这一块笔记的时候，我突然意识到自己还没有写环同态的笔记，但是实际上，也不是需要太多环同态的笔记，而且我相信能够静下心来看这篇推文的读者，一定也都是学过环同态的了，所以还不给我开始！！！「本节中，我们考虑交换幺环.」
❝定义 1：[素理想] 交换环中的一个理想称为是「素理想」 ，当且仅当它是一个的真理想，且对于任意的,蕴含或者.
❞
对这一定义实在不必感觉陌生，因为他和素元似乎有很大的关系！当然，我好像也没定义素元，当然我假设万能的读者已经知道了！哈哈
下边我们给出素理想的判定定理.
❝定理 2：[素理想的判定定理] 设是交换幺环，那么是环的素理想是整环.
❞
「证明：」 若是一个素理想，考虑对任意的且,即意味着：所以与定义矛盾.
若是一个整区，那么意味对任意即或者，所以是素理想.
与素理想一样在环论中有很重要地位的是极大理想.
❝定义 3：[极大理想] 交换环中的一个真理想是「极大理想」指：不存环的真理想真包含.
❞
同样的，我们应该给出极大理想的判定定理.
❝定理 4：[极大理想的判定定理] 若理想是环交换的极大理想是域.
❞
「证明：」 若是极大理想，意味着包含它的理想只有和它自身，有环同态的对应定理可知：的理想和的包含的理想一一对应，所以的理想只有零理想和自身.根据域的判定定理可知是域.
反之亦然，根据对应定理可知，若是域(理想只有自身和零理想)，那么对应包含的理想也只有自身和环,所以是极大理想.
根据以上我们可以得出推论：
❝推论 5：若环是交换环，那么极大理想一定是素理想.
❞
❝推论 6：理想在交换环中是极大理想当且仅当是域.
❞
自然地，我们会有如下问题，极大理想和素理想的存在性，很显然在一个交换环中如果极大理想存在的话那么素理想也一定存在，所以我们先探究极大理想的存在性！
极大理想的存在性，需要利用Zorn引理，这个定理在原来没介绍，现在补充下：
❝定义 7：偏序关系 设是一个非空集，是是的一个关系，若适合下列条件：
❞
对任意的; 若且,则; 若,则. 则称是上的一个偏序关系.带偏序关系的集合称为偏序集或半序集.若是上的偏序关系，我们用来表示：.
看来我是在填坑了!
❝定理 8：[Zorn引理] 设 是一个偏序集,若 中的每根链都有上界,则 有极大元.
❞
在偏序集中，并不是每两个元素都有序关系，但是有一类偏序集中，任意两个元素都可以比较大小，即都有序关系，称这样的偏序集为全序集，一个偏序集中的全序子集称为偏序集的一根「链」.
偏序集中的一个元素 称为是 「极大元」,若不存在该集中的元素 ,使得 有限偏序集总存在极大元,无限 集有可能没有极大元,如实数域.
「证明:」
Zorn 引理的证明要用到选择公理,我们这里不再给出其证明. 从 Zorn引理也可推出选择公理,因此我们可以把它作为一条公理接受下来. 我们可以这样来 想象”它的正确性(注意,这不是证明!). 取 的任一链, 其上界记为 若 已是极大元,则引理正确,若 不是极大元,则必有 ,使 若 不是极 大元,则又可找到 ,使 如此下去又可得到 的一根链, 其上界 记为 若 是极大元就不必再找了,若不是又可重复下去. 这样不断地做下 去,总可找到极大元,因为每一条一链均有上界.
现在我们就可以证明如下定理了：
❝定理 8：交换环一定存在极大理想.
❞
实际上，我们有更强的定理：
❝定理9：设 是含恒等元的交换坏, 是它的一个理想且 , 则 一 定含在 的某个极大理想之中.
❞
「证明：」 令 是 中包含 但是不含恒等元 1 的理想集合.显然 在 中， 因此 非空. 在包含关系下, 成为一个偏序集. 假定 是 的一条链,容 易验证 是理想且已经含 但是不含 1 ,所以它是该链的上界. 由 Zorn 引理知 道 含有极大元. 显然这个极大元就是包含 的极大理想. 证毕.
❝推论10：中的任一不可逆元都含在某个极大理想之中.
❞
「证明：」 因为是不可逆元，所以,由上定理可知必定包含在某个极大理想中.所以也一定在某个极大理想之中.
最后给个实际的练习题：
❝习题：计算的极大理想和素理想.
❞
考虑环同态：,这是一个满同态，所以根据对应定理可知，任何包含的理想都与的理想一一对应，又因为的所有理想都形如.所以包含的理想有
又因为：的极大理想只有：,又因为的极大理想和素理想相同，所以有：的极大理想和素理想都是：
关于这一块更丰富的内容，比如根理想，小根,大根，素理想之间的运算等，我会以习题的形式给出，以及如果想要更加了解这一块的内容，参见任何一本交换代数的书籍.
好听ying !
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