每一个复数都唯一对应一个有序对,因此我们可以建立全体复数到二维平面的一个同构,我们称这个平面为复平面.我们知道复平面上的点可以用向量表示,因此我们可以建立复数和向量之间的关联.例如复平面上的每一个点,都可以用向量来表示,因此每一个复数也可以用向量表示.而复数的加减法正好和向量的加减法相对应.
值得注意的是,这两者并不完全相同,因为复数的乘法和除法在向量中没有.
我们知道二维平面上的点有极坐标表示,同样复平面中我们也有极坐标表示,其中极径就是复数的模长,而我们知道极角有无穷多个,因此我们将其限制在称这个极角为,记为.而对于都是极角,我们称之为记为Arg z.有时我们也会令主辐角在.这影响不大.
现在我们可以给出复数的三角表示:
其中是辐角.是模长.现在我们可以给出和辐角之间的关系:
现在我们可以给出复数乘法的几何意义:
如果 , 则
乘法和除法可以看作是先伸缩,再旋转对应角度,其中乘法是逆时针旋转,除法是顺时针旋转.
下边我们再给出复数的另一种表示::这里引入还有点过快,因为我们还没有介绍复变函数,但是由于其使用的方便性,因此我们先引入这一表示,后面我们会证明这是正确的,且没有循环证明!
[Euler公式] 复数 可表为
利用这一公式,我们可以大大简化许多运算.以及给出更简洁的表达式.
设
则与通常指数函数的运算相同, 我们有
这一关系式使得复数表示为指数形式时,乘方和开方运算更为方便.利用这一表达式我们还可以给出乘法与辐角之间的关系:
注意到只有辐角有这样的性质,对于主辐角没有,因为辐角只能限制在一个内,但是加法和减法运算后可能会超过这个范围.利用这一性质我们可以给出三角不等式中等号成立更简洁的证明:
如果 中等式成立, 则应有 . 由此 得 , 即 . 因此
这说明 , 复向量 与 同向. 所以存在实数 , 使得 . 证毕.
同时还可以得到著名的
设 , 求复向量 按逆时针方向旋转 后所得的向 量.
求解方程 , 其中 .
设,其中是主辐角,,其中也是主辐角,那么:
因此我们有
方程 有 个不同的根, 它们是
把复数 写成三角形形式.
可以得到:
证明:
注意到:
左边右边实部虚部展开就得到了所需要证明的.
证明:
( 提示: 考虑方程式 的 个不为零的根的乘积. )
根据提示所述,我们知道上述方程的根为,设为,那么:
因为上述中仅有一个排列中不含0,不妨记为,那么:
而
所以乘起来即得所证.
我们已经知道:
而平面上的一条直线的方程为:
我们讲带入得:、
如果令 , 则 为非零复数, 直线方程可表示为
反之任给 , 则 是一平面的直线方程.
注 对于任意复数 , 变量 和 的线性关系式 一般并不是直线的方程, 其包含了两个实方程、
例如 化为实方程是 和 , 其解为 , 仅是平面的一个点. 而如果
其表明方程的虚部为零, 这时必须 , 则方程是一实方程, 其表示的才是一直线.
特别的,如果直接给出两个点,我们还可以更简洁的给出直线的复数参数方程,即设.那么直线方程为:
对于一般的圆的方程可以表示为:,因此:
反之如果给了一个方程:
如果这是一个圆的方程的化,那么:
这就要求:.这是一个以为圆心,为半径的圆.
证明: 平面上四点 共圆的充要条件为
乍一看上去这个题目很复杂需要讨论的相对位置,但是当我们将四点共圆的情况画出来(随便一种位置),我们就会发现四点共圆实际是考虑角和的相对情况,四点共圆有两种情况一种是两个角都是锐角,对角和是,而虚部为0就意味着对应的辐角是的整数倍,由此得证.(注意到arg 表示夹角,且注意到方向!)
证 从图可以看出, 四点共圆的充要条件是向量 和 的夹角等于向量 和 的夹角或互补 (当 在 与 之间时 ), 即
这说明复数 在实轴上, 因而等式 成立.
设 是单位圆周上的三个点, 证明: 这三个点是一正三角形三个顶点的充要 条件为
因此:
同理其他边也是边长为由此可得是个正三角形
由上边可得:,那么可得到,因此可以计算出:.
练习题:设 , 证明由方程
所确定的点 的轨迹是一圆周 (通常称为 Apollonius 圆), 该圆周的圆心 和半径 分别为
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