今天，我们来探讨一个非常有趣的问题。
到底是e的π次方大，还是π的e次方大？
e^π VS π^e
我们都知道：
圆周率π=3.1415926…
自然常数e=2.71828…
但是要想比较出e的π次方和π的e次方的大小关系，却并不是一件容易的事。
我们首先对e^π和π^e两边同时取自然对数ln(x)
由于ln(x)的底数
e=2.71828…＞1
所以y=ln(x)是一个增函数
取自然对数后，两数的大小关系保持不变。
e^π VS π^e
ln(e^π) VS ln(π^e)
πln(e) VS eln(π)
再对两数同除以(eπ)
由于eπ＞0，所以同除以(eπ)以后两数的大小关系依然保持不变。
πln(e) VS eln(π)
πln(e)/eπ VS eln(π)/eπ
ln(e)/e VS ln(π)/π
到这里我们思考一下，为什么要将原式变形成以上形式呢？因为我们想要寻求两式在形式上的统一。
这种将两式统一成同一个函数形式的思路，非常值得大家学习。
这样，我们就可以将两式看成一个函数y=f(x)=ln(x)/x的两个不同取值。
左边的式子ln(e)/e就相当于f(e)；
右边的式子ln(π)/π就相当于f(π)。
ln(e)/e VS ln(π)/π
y=f(x)=ln(x)/x
f(e) VS f(π)
现在的问题转化为：讨论函数y=f(x)=ln(x)/x的单调性和最值。
接下来我们对函数求导。
根据函数相除求导法则：
[f(x)/g(x)]′
=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]^2
[ln(x)/x]′
={[ln(x)]′x-ln(x)(x)′}/x^2
=[(1/x)x-ln(x)×1]/x^2
=[1-ln(x)]/x^2
[ln(x)/x]′=[1-ln(x)]/x^2
由[ln(x)/x]′=0，可得
[1-ln(x)]/x^2=0
1-ln(x)=0
ln(x)=1
x=e^1=e
进一步可得，对于f(x)=ln(x)/x
①当0＜x＜e时：f′(x)＞0
f(x)在(0,e)上递增；
②当x＞e时：f′(x)＜0
f(x)在(0,e)上递减；
③当x=e时：f′(x)=0
f(x)在(0,+∞)上的最大值为
(max)f(x)=f(e)=ln(e)/e
f(x)=ln(x)/x的大致图像如下图。
根据以上结论有：
f(e)＞f(π)
ln(e)/e＞ln(π)/π
πln(e)＞eln(π)
ln(e^π)＞ln(π^e)
e^π＞π^e
最终我们得出了结论：
e^π＞π^e
我们再用计算器来验证一下：
e^π=23.140692……
π^e=22.459157……
结论：e^π＞π^e
最后再补充多说两句。
e^π=23.140692……
又被称为盖尔方德常数
盖尔方德常数
根据欧拉公式：
e^(ix)=cos(x)+isin(x)
令x=π，可得
e^(iπ)=cos(π)+isin(π)
=-1+i×0=-1
e^(iπ)=-1
[e^(iπ)]^(-i)=(-1)^(-i)
e^[(-i^2)π]=(-1)^(-i)
e^π=(-1)^(-i)
(-1)^(-i)=e^π=23.140692……
数学边界恒等式
这里(-1)的(-i)次方居然是一个实数，这个结果实在是有些令人难以接受。但这确实是一个正确的表达式，这个式子是能够满足指数运算和对数运算的运算法则的，完全满足逻辑自洽。
这个恒等式非常漂亮，目前数学界还没有对其正式命名，我们不妨就把它叫做“数学边界恒等式”吧。
数学边界恒等式：(-1)^(-i)=e^π
这个数学边界恒等式，能否和著名的欧拉恒等式媲美呢？
欧拉恒等式：e^(iπ)+1=0
欧拉恒等式
哈哈哈，只是开个玩笑罢了。实际上，以上两个恒等式在本质上是完全一样的。
好了，今天就聊到这里，欢迎大家持续关注数学边界，后面我们再继续聊有趣的数学问题。
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