来源:转载 2006-09-04 16:54:06
华数思维训练导引 三年级上学期 第05讲 数列与数表问题第01讲 数列规律
1、下面是两个具有一定的规律的数列,请你按规律补填出空缺的项:解答:(1)观察发现,后项减前项的差为:6、8、10、......所以,应填41(=29+12),41+14=55符合。
(2)观察发现,6=2*(2+1),16=2*(2+6),44=2*(16+6),所以,应填120=2*(44+16),2*(120+44)=328符合。
2、有一列由三个数组成的数组,它们依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);……。问第99个数组内三个数的和是多少?
解答:观察每一组中对应位置上的数字,每组第一个是1、2、3、......的自然数列,第二个是5、10、15、......,分别是它们各组中第一个数的5倍,第三个10、20、30、......,分别是它们各组中第一个数的10倍;所以,第99组中的数应该是:99、99*5、99*10,三个数的和=99+99*5+99*10=1584。
3、0,1,2,3,6,7,14,15,30,________,________,________。上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的,他第一次先写出0,1,然后第二次写出2,3,第三次接着写6,7,第四次又接着写14,15,依次类推。那么这列数的最后3项的和应是多少?
解答:观察发现,在0、1后写2、3,2=1*2;在2、3后面写6、7,6=3*2;在6、7后面写14、15,14=7*2;在14、15后面写30,30=15*2;所以,后三项应填31、62(=31*2)、63,和为31+62+63=156。
4、仔细观察下面的数表,找出规律,然后补填出空缺的数字。
解答:观察发现,(1)第二行的数字比第一行对应位的数字都大21,所以应该填58+21=79;(2)第一列的数字是同行中后两列的数之和,所以应该填28-9=19。
5、图5-3中各个数之间存在着某种关系。请按照这一关系求出数a和b。
解答:图中5个圆、10个数字,其中5个数字是只属于某一个圆本身的,5个数字是每两个圆相重叠的公共区域的,观察发现,两圆重叠部分的公共区域的数字2倍,正好等于两圆独有数字之和,15*2=10+20,30*2=20+40;所以,a=2*17-10=24,b=(16+40)/2=28。验算:20*2-16=24,符合。
6、将8个数从左到右排成一行,从第三个数开始,每个数恰好等于它前面两个数之和。如果第7个数和第8个数分别是81,131,那么第一个数是多少?
解答:根据数列规律倒推,第6个数=131-81=50,第5个数=81-50=31,第4个数=50-31=19,第三个数=31-19=12,第2个数=19-12=7,第个数=12-7=5。
7、1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,…。上面是一串按某种规律排列的自然数,问其中第101个数至第110个数之和是多少?
解答:观察发现,数列的规律为三个一组、三个一组,每一组的第一个数为从1开始的自然数列,每一组中的三个数为连续自然数;101/3=33......2,说明第101个是第33+1=34组中的第二个数,那么应该是34+1=35;从101到110共有110-101+1=10个数,那么这10个数分别是:35、36,35、36、37,36、37、38,37、38;所以,他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365。
8、如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排,这样就组成了一个多位数:12345678910111213…996997998999。那么在这个多位数里,从左到右的第2000个数字是多少?
解答:一位数1~9共有9个;二位数10~99共有90个,占90*2=180位;一、二位数共占了189位;2000-9-180=1811,这1811个位数都是三位数,1811/3=603......2,说明第2000个数是第604个三位数的第2位,三位数从100开始,第604个应该是603,第二位就是0。因此,从左到右的第2000个数字是0。
9、标有A,B,C,D,E,F,G记号的7盏灯顺次排成一行,每盏灯各安装着一个开关。现在A,C,D,G这4盏灯亮着,其余3盏灯是灭的。小方先拉一下A开关,然后拉B,C,…,直到G的开关各一次,接下去再按从A到G顺序拉动开关,并依此循环下去。他这样拉动了1990次后,亮着的灯是哪几盏?
解答:如果一个灯的开关被拉了2下,那么,这个灯原来是什么状态,还应该是什么状态,即原来亮着的还亮着,原来不亮的还是不亮。现在共有7盏灯,每个拉2次的话就是14次。也就是说,每拉14下,每个灯都和原来的情况一样。1990/14=142......2,说明,拉1990次就相当于只拉了2次,那么就应该是A和B各被拉了一下。A原来亮着,现在变灭;B原来不亮,现在变亮。所以,拉1990次后亮着的灯应该有:B、C、D、G。
10、在1,2两数之间,第一次写上3;第二次在1,3之间和3,2之间分别写上4,5,得到
1 4 3 5 2。
以后每一次都在已写上的两个相邻数之间,再写上这两个相邻数之和。这样的过程共重复了8次,那么所有数的和是多少?
解答:原来两数之和:1+2=3;操作一次:1+3+2=6=3+3;操作2次:1+4+3+5+2=15=3+3+9;操作3次:1+5+4+7+3+8+5+7+2=42=3+3+9+27;......规律是,操作n次,和为3+3^1+3^2+3^3+......+3^n,所以,操作8次的和为3+3^1+3^2+3^3+......+3^8=9843。
11、有一列数:1,1989,1988,1,1987,…。从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。那么第1989个数是多少?
解答:为了找到规律,我们把这列数再往下写出一些:1,1989,1988,1,1987,1986,1,1985,1984,1,1983,1982,1,1982,…这样我们可以很容易的看出规律了,即每三个一组,第一个为1,后两个是从1989依次减1排下去;1989/3=663,共有663组,去掉每一组中的1,剩下663*2=1326个,从1989顺序递减,到最后一个应该是1989-1326+1=664。所以,第1989个数是664。
12、在1,9,8,9后面顺次写出一串数字,使得每个数字都等于它前面两个数之和的个位数字,即得到1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4…那么这个数串的前398个数字的和是多少?
解答:同上一题所讲的思路一样,我们需要再往下写一些,以便发现规律:1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,…这是我们已经可以发现规律了,即它们会以8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1不断循环,也即从第3个数开始,每12个数一个循环。那么,(398-2)/12=33,即供循环33次;一个循环的数字和为8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60,前398个数字的和=1+9+33*60=1990。
13、有一列数:2,3,6,8,8,…从第三个数起,每个数都是前两个数乘积的个位数字,那么这一列数中的第80个数是多少?
解答:还是上面的思路,需要再往下写一些,寻找规律:2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,…不难发现,规律是从第三个数开始,每6个数一个循环,那么,(80-2)/6=13,所以,第80个数是8。
14、1999名学生从前往后排成一列,按下面的规则报数:如果某个同学报的数是一位数,后面的同学就要报出这个数与9的和;如果某个同学报的数是两位数,后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和。现在让第一个同学报1,那么最后一个同学报的数是多少?
解答:按照要求,我们先写出前面的一些数,寻找规律:1,10,6,15,11,7,16,12,8,17,13,9,18,14,10,......规律是:从第2个数开始,每13个数一个循环;(1999-1)/13=153......9,所以,最后一个同学报的数是17。
15、将从1到60的60个自然数排成一行,成为111位自然数,即12345678910111213…5960。在这111个数字中划去100个数字,余下数字的排列顺序不变,那么剩下的11位数最小可能是多少?
解答:为了使剩下的数尽可能小,那么除留下第一个1外,后面应尽可能多的留下0,1~60共有6个0,并且有一个是在最后,所以,第一个1后面只能留下5个0,也就是说,到50为止,前面除第一个1外只留下0,这时便成10000051525354555657585960;除了第一个1和6个0外,还要留下4个数,不难看出,应该留下51525354中的1234,所以,剩下的11位数最小可能是10000012340。
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