女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
西方文化只是对一笔画图形感兴趣的几种文化之一。本文阐述了大洋洲对这种兴趣的证据，重点是马勒库拉人的想法。其中包括图形、文化背景以及相关的几何学和拓扑学思想。对于许多马勒库拉人的图形，都有关于每条边的实际描画顺序和方向的记录。这使我们能够分析他们的程序，并表明基本程序被转化和组合成更大的系统程序。
一、引言
Sainte-Lague在其1926年的工作中指出，一个图形是否可以用一条连续的线来追踪的问题，虽然是由欧拉首先提出的，但一定有更广泛的分散性。他指出了穆罕默德签名的传说以及克劳森和罗列使用的设计[Sainte-Lague 1926, 12]。虽然Sainte-Lague没有进一步阐述，但他的声明承认，西方专业数学家领域的问题也可以存在于西方的民间文化和非西方文化中。
穆罕默德的签名(图1)可能是写休闲书籍的西方数学家的人工制品。传说穆罕默德用弯刀的刀尖在沙地上勾画出了这个图案，卢卡斯[1891,36]和鲍尔[1892,176]的书中有这样的记载，但到目前为止，我试图找到一位熟悉这个图案的伊斯兰学者，但没有成功。然而，Clauson使用并被Listing重复的图案被发现是19世纪丹麦民间谜题集[Kamp 1877]的一部分。在聚会上，跳舞之外的另一项活动是不用拿起粉笔，在桌面上一步一步地画出图案。其中一些传统图案如图2所示。图3所示的图案是画在表格上的，必须加以修改。图3a的目标是在三个移动中删除整个图形，而图3b需要删除三个线段，以便剩下的图形由三个可在一个连续移动中跟踪的方块组成。由于图2中所有的图形都只有偶数度的顶点，每个顶点都可以在一个连续的移动中绘制，而不需要追溯任何部分，从任何一点开始，在开始的地方结束。(顶点的度数是顶点上相交的边的数量;顶点是奇数还是偶数取决于它的度。)对于图3b，传统的解决方法是删除右上角的线段和左边中央的垂直线段，从而将图由一个有四个奇数顶点变为一个所有顶点都是偶数的图。图3a所述的目标无法实现。我不知道克劳森的图形的来源或灵感，但他指出，至少需要四步移动[Clauson 1844]是同一个图3a。Listing再现了这个图，并陈述了更一般的情况，即一个有2n个奇数顶点的图需要n次移动[Listing 1847,60]，同样再现了图3a, Lucas提供了更一般的证明[Lucas 1891, 37,223]。在丹麦民间传统中，这些图案提供娱乐，但也有名字，反映了一个共享的环境，并延续共同的信仰。更重要的是，收藏家说其中两个(图2b和2c)具有魔法的意义，两个(图2f和2g)据说在巫术中很有用。因此，在他们的文化背景下，这些图案不仅仅是图论问题的兴趣证据。
图1. 穆罕默德的签名[Lucas 1891. 36]。
图2.丹麦民间谜题[坎普1877]。(A)双心形(也发现于西日德兰和中日德兰的红色陶罐上；以及西塞兰和拉兰德的红陶罐上)。(B)噩梦十字或八角。(C)七星。(据说它和八角星都与维京时代的一件大型金角文物上发现的人物相似。)。(D)Fortenases或Fortunatun的钱包(来自东富宁)。(E)通常与一个被人们读作“主的儿子耶稣”(来自西塞兰)的标志联系在一起。(F)汉堡大门的锁(从西塞兰)。(G)汉堡门锁(来自东北-塞兰)。(H)汉堡门的钥匙(仅在中东日德兰东部城市兰德斯被称为汉堡门)。
图3.丹麦民间谜题[坎普1877]。
著名哲学家路德维希-维特根斯坦在试图定义数学的本质时，指出一笔画图案问题是每个人都能认识到的数学问题[维特根斯坦1956，174e]。Saint-Lague的直觉是正确的：西方人，无论他们是专业人员还是非专业人员，都不过是拥有这种数学兴趣的一种文化的成员。我把民族数学定义为对非文盲民族的数学思想的认真研究[Ascher & Ascher, 1986]。由于非文盲文化中没有专门从事数学研究的专业课程，因此，这些思想将隐含在其他活动中，并以适合该文化的方式表达出来。在讨论这些思想时，必须在其文化背景下看待它们。否则，它们就会成为我们自己的苍白反映，缺乏动力、深思熟虑和意义。在这里，一笔画图案的数学思想是中心线索。然而，当图案和绘画过程被检查时，其他的几何思想也会出现。这些想法也将被讨论，因为重要的是这些想法，而不是我们类别的叠加。然而，与民族数学的任何工作一样，我所看到的和我所能表达的仅限于与我们自己的想法有某种相似性的想法。在两个相距甚远的地理区域，即非洲的安哥拉/扎伊尔/赞比亚地区和大洋洲的新爱尔兰/瓦努阿图地区的文化中，已经发现了关注一笔画图案的大量证据（见地图1）。在这里，我将详细阐述大洋洲的案例，包括：图案和它们产生的文化背景，也就是它们在文化中的位置和意义。我将研究与文化所证明的数字有关的几何学问题，并在可能的情况下，包括追踪程序和算法。在另一个时间，我将详细介绍非洲的案例。这些非西方人的想法和我们的想法一样，都属于全球和持续的数学史。
2. 大洋洲的新爱尔兰/瓦努阿图地区
据报道，大洋洲有两个群体对连续沙画的关注。这两个群体有很大的不同，它们的图形构架的深度也不同。
A. 对于新爱尔兰的人民来说，报告很少，表明对他们的关注相对较少。然而，值得注意的是他们的一个声明的直接性。
虽然可能还有其他的图案，但有三个图案已经被具体报道了[Bell 1935; 1936]。这三个图案中的每一个都是一个简单的封闭曲线。当然，它们都是同构的，但此外，它们是同一视觉主题的变化。图4a是在博昂岛的一个沙滩上画的（见地图2）。它表现的是四个圆木鼓，但据其收藏者说，这种画的意图是 "以其复杂性使旁观者感到惊讶和好奇"，因为曲线是在开始的地方连续画出来的[贝尔1935，16]。另外两幅（图4b和4c）来自新爱尔兰的Namatanai；一幅代表野藤的果实，另一幅被命名为 "被杀死的东西"。根据与这幅画有关的故事，这个图形是由一个女人在沙地上画的，然后她向她的丈夫提出挑战，要求他从S点开始，到S点结束，完整地描摹这个图形。但是，在他睡觉的时候，她稍微改变了这个图形，因此，尽管他尝试了几次，丈夫还是无法描摹整个图形。他一怒之下，拿起棍子杀了他的妻子。改动是将B与C、D与E连接起来，同时抹去了BE和CD；也就是说，妻子将连接的图形改为不连接的图形。这个故事毫无疑问地表明，新爱尔兰人意识到了这种区别和它的图案追踪意义。
图4. 来自新爱尔兰的沙画。(a) 四个圆木桶（项目一，表一）。(b) 野生藤蔓的果实（第2项）。(c) 让一个人丧命的沙画（第3项）。S是起点和终点。
B.瓦努阿图共和国在1980年独立前称为新赫布里底群岛，包括一个由大约80个岛屿组成的岛链，延伸约800公里，土著人口接近95 000人。马勒库拉岛是瓦努阿图两个最大的岛屿之一，约占瓦努阿图领土的四分之一。欧洲人对这个岛屿的开发始于1840年左右。在19世纪90年代到30年代之间，殖民统治的社会和心理影响以及欧洲疾病的传入使人口减少了大约55% [Gathercole 1984;Laracy 1981]。这里令人感兴趣的文化区主要包括马勒库拉岛和附近的瓦奥岛和阿钦岛，但也延伸到附近的Omba岛、Pentecost岛和Ambrym岛(见图2)。虽然它们之间有一些差异，但1包括马勒库拉下的所有岛屿。
地图2. 新爱尔兰和瓦努阿图地区。
一笔画图案的绘制与马勒古拉人的精神紧密结合在一起。许多图案是以当地环境中的动植物命名的，但也有几个与重要的神话和仪式有关。除了说明神话之外，甚至还有一些神话中的绘画概念也发挥了重要作用。此外，由于其中一位收藏家的一丝不苟，这批图画的细节非常丰富。A.Bernard Deacon以1920年代特别罕见的眼光和洞察力，在给他的导师的信中指出：“我在马勒古拉收集了......一些具有非凡数学能力的案例。我希望，当我把我的材料收集起来时，能够证明当地人有能力进行相当抽象的思考”[Deacon 1934b, xxiii]。他认为“重要的新事物”之一是一个复杂的数学模型。他认为数学上的一个“重要的新东西”是一个复杂的鼓声信号系统，它基于每个部族、等级、猪的等级的识别节奏，以及某些特殊的短语，这些短语被组合起来，以唯一地识别每个人，并传递所有成年男性都能理解的全部信息。另一个是复杂的六级婚姻制度，长老们可以用画在沙子上的图表来解释其逻辑。第三种是“惊人的复杂和巧妙的”几何图形图画[Gardiner 1984, 441 [l]. 迪肯在结束了在马勒库拉的两年实地工作后，在等待回家的交通时死于黑水热。幸运的是，他的导师和一位研究生同学看到了他的田野笔记，包括91个带注释的图案，并出版了。对于我们的分析来说，这些笔记特别有用；它们可能比完成的、精加工的人种学报告携带更多的原始图画信息。这些被称为nitus[2]的图画是由人在沙地上完成的，关于它们的知识是代代相传的。通常，在绘画之前会有一个由几条水平线和垂直线或几排点组成的框架，但不被认为是图案的一部分，偶尔也会在最后加上尾巴之类的线条[3]。图案要用一条连续的线来画，手指不能停，也不能从地上抬起来，任何部分都不能覆盖两次。如果可能的话，该图要在它开始的地方结束[Deacon 1934a]。对于大多数记录在案的图画，其边缘被覆盖的确切顺序和方向都被包括在内。这一关键信息使我们的分析超越了一般意义上的分析，也超越了已完成的图形的外部特征。我们能够检查实际的绘画程序，并阐述他们创造视觉对称性的手段，他们的系统追踪程序，以及我称之为过程代数的东西。
在马勒库拉，对nitus的描述中会出现的生活中普遍存在的方面是分级社会和猪。分级社会界定了一个人在整个社会中的等级。男人的社会有10到30个等级；女人的社会则不那么复杂，只有3到5个等级。每个等级都赋予某些特权，包括允许佩戴的设计和装饰品以及允许坐的位置。每个等级的提升都是通过建造纪念碑和木鼓、支付各种费用、献上有獠牙的猪和 仪式行为的表现。晋级伴随着公开的舞蹈和宴请仪式。级别越高，难度越大，表明权力、影响力、生育力和超自然生物的帮助都在增加。獠牙猪的获取和繁殖非常重要，因为大多数仪式和典礼都需要它们，它们可以作为巫师或工匠特殊服务的报酬[Deacon 1934b; Gathercole 1984; Lane 1965; Layard 1928]。
在马勒库拉人中，通往死亡之地的通道取决于在沙地上描画的图案。它的确切位置、入口和守卫者因地而异，但一般来说，入口由一个鬼魂或与蜘蛛有关的食人魔守卫，他坐在石头上，向那些试图进入的人挑战。在守卫者面前的沙地上有一个图案，当刚死去的人的鬼魂走近时，守卫者会抹去这个图案的一半。挑战是完成生前应该学会的图案，失败的结果是被吃掉[Deacon 1934a, b; Lane 1965] [4]。在另一个神话中，描述了人类死亡的起源。这个神话的中心是Barkulkul和Marelul两兄弟，他们从天空世界来到了地球。(他们是五兄弟中的两个，统称为Ambat。）有一天，Barkulkul去旅行，但在此之前，他采取了预防措施，把他的妻子围起来，以便知道是否有入侵者。在一个版本中，他用一根藤蔓在紧闭的房门上做了一个类似蜘蛛网的图案；在另一个版本中，他在妻子的大腿上绕了一个绳子的图案。Marelul在Barkulkul不在的时候去看她，然后不恰当地换掉了藤蔓或绳子。Barkulkul回来后就去了男人的房子，挑战所有男人在地板上的灰烬中画图案。Marelul的形象暴露了他的身份，Barkulkul杀了他。最终，Marelul恢复了生命，但由于腐烂的气味太重，其他人都躲着他。他回到了没有死亡的天空世界。那些留在地球上的人是人类的祖先，他们为生计而工作，最终死亡[Lane 1965; Tattevin 19291 [S]. 当然，这些故事是经过编译的，但还是给我们提供了沙画、绳索图案和蜘蛛网的本土比较[6]。这些故事的某些方面是几个图案的主题。然而，更重要的是，这些故事强调了正确认识自己的图案的必要性，并通过让他们参与最基本的问题--死亡和超越死亡，来证明他们的文化重要性。
从最不复杂的nitus开始，表1列出了那些简单的封闭曲线，表2列出了那些规则图形。一个规则图形的所有顶点都具有相同的度数，那么这个图形就被称为具有该度数。图5显示了一些简单的封闭曲线，图6显示了一些与上述神话和社会相关的规则图。在这些规则图形中，只有一对，即图6d和7a，是同构的。除了那些如图7b（第21、22和28项）是一对连续的不相交的图形外，其他都是连续的。除了其中一个（第28项），所有的规则图都是四度的。图7a和7b是一组四个相当相似的图形中的两个。图7a有6个 "小矮人"；图7b的每一半有10个 "人"；项目22中的每一半有8个 "人"，而图7b被描述为两组人在互相争斗，项目22在一个地方是两组人沿着道路两边排列等待敌人，在另一个地方是儿童在战斗。这一组体现了瓦努阿图群岛绘画传统的统一性：nitus来自安布里姆、马勒库拉的拉加拉格、瓦奥和阿钦。
表一：简单闭合曲线
a这些表格包括在新爱尔兰/瓦努阿图收集的图案。收藏家是贝尔(B)、迪肯(D)、费斯(F)。Harduck(H)、Layard(L)和Neuhaus(N)。总而言之，这些藏品是Bl[Bell 1935]；DL-91[Deacon 1934a]；F1-4[Firth 1930]：H2-3[Haddon 1934]；L64-70，73-78[Layard 1942]；以及NL-2[Bell 1936]。D4，16-18。29-31、76和L75被省略，因为它们在概念上有很大的不同；D27。56，85，86。FL和L76由于不清楚或不一致而被省略。M(La)、M(LG)、M(M)和M(S)表示马勒库拉岛上的拉加拉格、兰本布、梅旺和塞尼亚。问号表示不确定。所指示的对称类型是仅单中心反射轴(S)、一对中心垂直轴(D)、仅围绕中心点旋转180“(R)和围绕中心点旋转90”(N)。D(N)表示这两个描述符都是适当的。当nitus有多个来源时，星号表示文本中使用的描述的来源。
表二 规则图形
图5. 简单的封闭曲线。(a) Ambat.试图在海边磨一块石头，被来袭的潮水推回（第4项，表一）。(b) 与一个秘密社团有关（第5项）。(c) 指的是与另一个社团的仪式有关的树（第6项）。(d) 一个幽灵（第7项）
图6. 四度的规则图。(a) 去往亡灵之国必须完成的路径（表二第23项）。(b) 由安巴特首次制作的花头饰，在葬礼仪式上佩戴（第27项）。(c) 与两个秘密社团和妇女的入会仪式有关（第25项）。(d) 三个沉睡的鬼魂（第24项）。
图7所示。一对相关的规则图。(a)六个小矮人(表二第20项)。(b)一些安布里姆人和一些N. Pentecost人之间的战斗(第21项)
有几个规则图形（表二中的第12、15、16、26、29和31项）是格子状的，所使用的绘制程序也相当系统。在图8中，一个nitus伴随着我定义为它的基本绘图单位（dr, ur, ug, dg, g, d, u, gp, gg）。就这些单位而言，描画图形的程序可以说是以下的算法。
图8：一种类格图及其跟踪单元。nirus的名称未被翻译(表二第29项)
作为一个整体，回顾已提交的90个nitus语料库，可以作出几个总结陈述。(1)大多数nitus使用点或线框架。对于简单的闭合曲线，点的使用是一致的(唯一的例外是N.Pentecost中的点)。然后，对于规则图，一些人使用点，一些人使用线条，一些人两者都使用，而另一些人则两者都不使用。其余的绝大多数使用几条垂直线。框架的类型和使用可以与记录的地点或变化无常相关联。例如，同一个nitus的两个收集者报告了不同的框架(第60和61项)，不使用垂直线的奇数度图仅限于两个地点。在任何情况下，框架可以帮助绘制，但不是图形的亲密部分，也不预先确定图形。(2)对称性显然是相当重要的。81%的nitus人具有某种形式的视觉对称性，而那些不具有对称性的人主要(82%)在有一对奇数顶点的图形中。具有视觉对称性的那些显示相对于一对垂直轴的反射(相对于与折叠式反射耦合的单个轴的反射无法区分)，并且次要地，仅相对于单个轴的反射(分别为59%和40%)。前者包括7%，也表现出四倍旋转，除此之外，单个nitus也表现出双折旋转而没有反射。正如已经讨论过的，在完整的图形中观察到的对称性不一定意味着跟踪的对称模式。然而，nitus的程序确实涉及水平和垂直反射，以及双重和四重旋转，从而支持了视觉对称性是马勒库拉有意识的目标的结论。(3)在我们的语料库中，有15%的nitus人不能用一条连续的线画出来，实际使用的线的数量没有显示出特定的模式。在那些可以使用单一连续线并且路线已知的情况下，94%的人实际上是这样追踪的。这一观察结果与马勒库拉人声明的意图不谋而合。(4)如可能的话，另一项述明的意图是在开始的地方结束。在59个可能做到这一点的nitus人中，96%的人做到了这一点，而且课程也是已知的。而且，(5)有意识地避免了回溯，因为在发生回溯的情况下，它与删除联系在一起，这一点被强调了出来。
即使在马勒库拉自设的对称性、连续路径和循环路径的限制范围内，对任何有哪怕是中等数量的边和顶点的图的追踪，也可以用许多不同的方式进行。一个路径不需要被系统地追踪，或者说，如果是系统地追踪，也可以有许多不同的系统。对于一个90个图形的集合，所使用的各种路径不需要有任何韵律或理由。然而，马勒库拉对nitus的追踪则更有条理和 数学化。基本的程序被组合和/或转化为其他程序，其方式既普遍又系统，而且适合于简明的表述。一种系统化的组合方式是由一个包含循环的算法来描述的，该算法增加了一个参数；另一种是系统地重复三个基本程序，形成具有不同数量的圆状单元的梯子，然后系统地形成矩形阵列。一个一般的追踪方案是对更复杂的nitus使用阶段，其中阶段基本上是子图，其约束条件与图本身类似。在所有这些之上，单独使用或与之结合使用的是被描述为包括旋转、反射和反转在内的一系列过程的变换，以及模拟变换，通过这些变换，图形的大小被缩小或放大。这个整体系统的要素是由曲线和直线段组成的图形的程序；转换修改了程序执行的方向或顺序或其规模。这些程序和转换后的程序与更大的程序不同但又系统地结合在一起，也就是变成了追踪笔尖的路径。
3. 结论
在讨论民族数学时，Ascher[1986]指出，数学这个类别是我们自己的，因此我们不能期望在其他民族那里找到任何这样的标签。然而，数学思想被发现隐含在一些领域和活动中，这取决于一个特定民族的想法。马勒库拉nitus被作为民族数学的一个案例研究：文化背景、结构分析以及有明确证据表明马勒库拉关注的相关几何学或拓扑学思想都被包括在内。这些数学思想是日常生活的一部分，但马勒库拉人对它们的阐述远远超过了实际需要。这项研究提供了一个关于其他民族的一些图论考虑的观点。因此，它增加了这种考虑的历史的广度和丰富性，如果不出意外，应该会增加我们对其他人的数学思想的欣赏。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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