剑指offer(C++)-JZ47：礼物的最大价值(算法-动态规划)

作者：翟天保Steven
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题目描述：

在一个m\times nm×n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

如输入这样的一个二维数组，
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]

那么路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物，价值为12

示例：

输入：

[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

返回值：

12

解题思路：

本题是动态规划的经典题目。解题思路如下：

1.定义一个m行n列的数组。里面存放移动到此的时候，当前最大的礼物价值。

2.对首列和首行分别单独处理。

3.遍历整个矩阵，计算各个节点位置的最优方案值。

4.输出末值也就是结果。

测试代码：

class Solution {
public:
    // 动态规划计算最大值
    int maxValue(vector<vector<int> >& grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        // 第一列只能从上方加下来
        for(int i = 1; i < m; ++i){
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        }
        // 第一行只能从左侧加下来
        for(int i = 1; i < n; ++i){
            grid[0][i] += grid[0][i - 1];
        }
        // 遍历
        for(int i = 1; i < m; ++i){
            for(int j = 1; j < n; ++j){
                // 取两者的最大值，这样确保每个格子都是截止到当前步骤的最大价值
                grid[i][j] += max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
};