读书随笔：烧掉数学书（下）

从无到有来自虚空的另个一例子就是微分求导的分配律，一般都知道：

如果M(x)=f₁(x)+f₂(x)+f₃(x)，就有M’=f₁’+f₂’+f₃’

那么如果M(x)=f(x)g(x)，M’=多少？

其实这个答案比之我们想象的要复杂，可不是随便就分到两个乘积函数上去了。

可以检验一下：任何f(x)都可以表示为1·f(x)，如果M’=f’g’这么简单，那岂不是每个f(x)’都会=(1·f(x))’=1’f’=0了？

所以我们只能很笨拙地用f’=[f(x+t)-f(x)]/t来套用这个解法了。

尝试解一下：

因为M(x)=f(x)g(x)，所以M’就应当=[f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)]/t，也就只能到这一步，没法再前进了。

这个时候，来自虚空的思维——1=1+0，或者0=1+(-1)就要起作用了。

在这里的虚空思维是，制造一个错误，然后纠正它。

这个错误就是，虽然我不知道怎么处理[f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)]/t，但是我知道怎么处理[f(x)g(x+t)-f(x)g(x)]/t，因为我知道它=f(x)[g(x+t)-g(x)]/t，这里就出现了我们熟悉的形式：[g(x+t)-g(x)]/t，我们知道它=g’，是吧？

可是事实却是[f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)]/t，不是[f(x)g(x+t)-f(x)g(x)]/t，咋弄？

虚空一下，无中生有一下：不就是要把上面两个式子变换一下，让它们相等嘛。所以f(x)g(x+t)-f(x)g(x)其实不就可以是原来的f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)加上一个f(x)g(x+t)，再减去它嘛。用形式表达就是：

[f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)]/t =[f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)- f(x)g(x+t)+ f(x)g(x+t)]/t，前面的下划线部分就是无中生有，无事生非出来的部分，就相当于+1又-1，本质没有变化，但形式变化了，继续看，我们继续变换：

f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)- f(x)g(x+t)+ f(x)g(x+t)= f(x)g(x+t)- f(x)g(x)+ f(x+t)g(x+t)- f(x)g(x+t)。

上面划线的部分，就是我们想要的，后面那一坨东西，貌似也可以把同类项提取出来，变成g(x+t)[f(x+t)-f(x)]！是不是看起来有点熟悉了？返回到整个式子中:

M’=[f(x)g(x)]’=[f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)]/t=[ f(x)g(x+t)- f(x)g(x)+ f(x+t)g(x+t)- f(x)g(x+t)]/t

也就M’= [f(x)g(x)]’=f(x)·[g(x+t)-g(x)]/t+g(x+t) [f(x+t)-f(x)]/t

这个式子里，[g(x+t)-g(x)]/t就是g’， [f(x+t)-f(x)]/t就是f’，唯一不知道的，就是g(x+t)是啥。

这个时候，又是权衡思维出现了，t是无限小，因此，可以当成0，因此，g(x+t)就可以被视为g(x)。

所以，上面的式子就成了M’= [f(x)g(x)]’=f(x)g’(x)+f’(x)g(x)，这就是那个著名的微分导数分配律——两个乘积函数的微分(fg)’=f’g+fg’，就是这样简单地推导出来的。

一切源于无中生有，源自虚空。

第四个点，替代与模式。

其一，这实际上是中学年代我们在进行代数或几何的论证方式。所谓的模式是怎么出来的呢，很多时候就是简化，用一个不知道是什么的，或者说随便是什么都行，替代掉我们觉得麻烦的，或者说暂时无法处理的部分，把问题简化为我们能够处理的问题。

比如说，前面已经得出的分配律，(fg)’=f’g+fg’，我们能不能拓展到(fgh)’乃至(fgh…)’呢？

用替代和模式思维来看，fgh其实就可以看做f(gh)，三个函数乘积完全可以看作是两个函数的积，还看不懂的话，就用s=gh替代一下，fgh=fs是不是？所以，(fgh)’=(fs)’=f’s+fs’。

然后我们再把s=gh还原回去，就跟上面无中生有加上f(x)g(x+t)又减去一样。

(fs)’=f’s+fs’=f’gh+f(gh)’， (gh)’总会算了吧？所以，上面的替代模式就是把一个三函数乘积微分问题简化成了两次两个函数乘积的微分问题。

就有了(fgh)’=f’gh+fg’h+fgh’，好像我们就能看出一种模式来了，同样的替代模式思维，我们很容易就知道，不论有多少个函数积的微分，都可以变成每个函数微分与其他函数积的和。

其二，微分求导的链式法则。其实就是解决一个幂函数求导问题，如P(x)=x^(m/n)。此前我们知道，对于任何整数，有(xⁿ)’=nx^n-1，那当幂是分数时，还能适用吗？

还是用替代模式思维，其实m/n就是m·1/n，所以P(x)=x^(m/n)就可以写成P(x)=(x^(1/n))^m，然后，我们用“G”替代那个看不懂的x^(1/n)，则P(x)=G^m，问题就转变为对P(x)=G^m求导。

本来问题是，dP(x)/dx=？，经过替代模式思维，变成了dP(x)/dG，就求导结果是mG^m-1。

可是，继续沿用第二点的无中生有，我们的替代也是无中生有，所以需要改正过来，也就是说，要回复到G到底是什么这个问题上来。

G=x^(1/n)，要算出dx，就要算出dG/dx，dG/dx=1/n·x^(1/n-1)，代入到mG^m-1，就得到了：

m(1/n·x^(1/n-1))^m-1，在幂上进行代数变化后，可以得到(m/n)x^(m/n-1)，啊哈，还是那个模式。

不过不要急，回过头来看之前替代的G的处理过程：

dP(x)/dx=dP(x)/dG·dG/dx，上面其实就是把中间我们替代x^(1/n)的G，在求导过程中消除掉了，这其实就是链式法则的来源——所谓链式法则就是当M(x)=M(f(x))，就是函数中的函数，那么dM/dx=dM/df·df/dx。

我们其实根本就不用记忆什么链式法则，因为那个中间函数，其实就是我们用来替代我们看不懂，或者觉得里面的形式太复杂时，随便找一个东西替代它。

第五点，加乘可以造就一切，不用太多考虑减和除。

回到幂函数求导，既然M(x)=xⁿ的一次求导结果是M’=nx^n-1，那二次求导M’’=n(n-1)x^n-2，三次求导就是n(n-1)(n-2)x^n-3，所以，如果是n次求导，最终就会得到M ⁽ⁿ⁾ (x)=n!也就是，幂函数按照幂次求导，最终会得到消掉x的阶乘。

由此，可以联想到，如何算出多项式M(x)=A₀+A₁x+A₂x²+…+A_nc+…，A是各项的系数，根据前面的认识，可以知道，如果对M(x)进行n次求导，则A_nxⁿ前面的所有项都会被消掉，A_nxⁿ则变成A_nn！，A_nxⁿ后面所有项都至少有一个x。

所以，如果x=0，即M ⁽ⁿ⁾ (0)的话，之前那个复杂的多项式就会变成一个值A_nn！，因为前后所有项都成了0。

这样，我们就可以算出这个系数A_n=M ⁽ⁿ⁾ (0)/n!，所以，多项式就变成了：

M(x)=M(0)+( M^’ (0)/1!)x+( M^’’ (0)/2!) x²+…+( M ⁽ⁿ⁾ (0)/n!) xⁿ

多项式、幂函数的n次求导，其实就是用加乘表达一切的思想，减和除被特定的运算规则消除，或者用乘法替代了。

第六，自然对数的底e这个神奇的数是怎么来的？

继续沿用上面的思路，之所以会有e这个神奇的数，源于一个问题——有没有一种函数，它的导数就是它自己？即E’(x)=E(x)，设想这就是一个幂函数，那么有E(0)=1，应用我们上面的出来的多项式，E(x)=E(0)+x+(1/2!)x²+…(1/n!)xⁿ。

那么E’(x)就=0+1+(2/2!)x+(3/3!)x²+…，其实对于任何n，n/n!其实都=1/(n-1)!，所以E’(x)实际上就=1+x+x²/2!+x³/3!+…。

我们用e来替代E，就会得到e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+…，当x=1的时候，那么就有：

e=1+1+1/2!+1/3!+…，这不就可以计算出e来了！

把数字累加到100的时候，可以得到e=2.7048，到10亿时，就有2.7182，这就是自然对数底数e的来历。

还可以换个思路，不是假设e^x’=e^x吗？

所以，用导数公式，e^x’=(e^(x+dx)-e^x)/dx=(e^xe^dx-e^x)/dx=e^x(e^dx-1)/dx，也就是：

e^x=e^x(e^dx-1)/dx，也就是(e^dx-1)/dx=1！所以，e^dx=1+dx

也就是e=(1+dx)^1/dx.

dx是什么？不就是很接近零的一个数嘛，所以，上述式子就变成了了e=lim(1+1/n)ⁿ(n趋向无穷大)。

把这个n也计算到很大的时候，可以得出2.718这个数字。

第七，化零为整的积分，就是逆向微分导数。

积分本来是要解决曲面面积问题，又正因为导数是曲线本身，所以，积分就成了对曲线下面各个微小矩形面积的求和。体现在坐标系中，就成了曲线从a到b一段以下面积的求和。

用符号表示就是∫b-a（公众号的文体展示标准的积分符号挺麻烦，只好简写）。

要求一段曲线m(x)从a到b一段下面的面积，即求∫(b-a)m(x)dx。要得到这个结果，其实就是要找到一个函数，这个函数的导数就是m(x)，也就是说，应该有m(x)=dM(x)/dx，就要找到这个M(x)。

把上述代入到积分式中，就有∫(b-a)m(x)dx=∫(b-a)(dM(x)/dx)dx，也就=∫(b-a)(dM(x)，其实就是M(x)从a到b的过程中发生的总变化的积累，而所谓的a和b之间的面积，也就是M(a)和M(b)两个值之间的差值，也就是M(b)-M(a)。

有趣的地方在于，积分求和的计算方法，却是在做减法。

第八，重新创造π。

圆周率是怎么来的，一般数学史书都会说，人们发现圆的周长和直径之比总是固定的。那么圆的面积与圆的周长之间，会有怎样的关系呢？联接二者的东西是个什么？

这么说，其实也都没有感性认识。作者另辟蹊径地做了一个估计，也挺有意思。比如，画一个正方形，然后让一个圆内切于正方形以内。如图：

如果知道正方形的边长是2r，也就是说，2r是内切圆的直径，也就是半径。现在要求得圆的面积。

用的思维仍然是微分思维——权衡精确与近似。把正方形切成四块如图所示。直接看就可以知道，圆的面积A(○)＜外接大正方形面积A(田)，而＞小正方形面积A(□)。

大多少呢？看起来，肯定比2个A(□)大，是不是比3个A(□)大，就不确定了。

用公式：A(○)=啦·A(□)，我们要知道的，就是这个“啦”是什么。现在至少知道，啦小于4，大于2，也就是2＜啦＜4，大概就在3的附近。

因为小正方形的边长只有大正方形的一半，所以A(□)=r²，所以，A(○)=啦·r²。看起来好像有点面熟了吧？

接着我们来思考圆的周长。

知道了圆的直径是2r，那么周长怎么算？也一样，周长肯定比2个直径2r要长，也一定小于4个直径2r那么长，这个数可以指代为“哇”，周长d=哇·2r。

设想一个很细很细的矩形，长长的长边，很窄很窄的宽，窄到变成微分状态，矩形的面积就是长乘宽，这个宽小到很小，这个矩形几乎就是一条线了吧？这样，变长就能与面积联系起来了——微积分里的权衡法则。

把这个细细的矩形结成一个圈，那不就是刚才的圆了吗？边长就成了圆的周长，同时，矩形本身可以看做两个贴得很近的圆套起来，像一个很细很细的甜甜圈。

假设这个矩形的宽是t，t很小很小，那么，这个甜甜圈，或者说矩形的面积就是——A(◎)=矩形面积=周长d×宽dt=哇·2r·t。

接下来就看看这个“哇”和我们之前说的圆面积中的“啦”是什么关系。

A(◎)显然还有一个用圆面积来表示的方法，就是外圈面积减去内圈面积。

内圈面积A(○)=啦·r²，外圈就是向外扩了一点点，就是矩形那个宽t，所以，就有：

A(◎)=大A(○)-A(○)=啦·(r+t)²-啦·r²。看起来像不像微分了？继续：

A(◎)=啦·(r+t)²-啦·r²=啦(2rt+t²)

哈哈，之前说了，甜甜圈的面积A(◎)就是那个细细的矩形围成圈后的面积，所以有：

细细的矩形面积——哇·2r·t=甜甜圈面积——啦(2rt+t²)。

也就是：哇·2r·t=啦(2rt+t²)，把两边都消去一个t：

哇·2r=啦·(2r+t)，因为t是个很小很小的数，所以可以忽略，就有了：

哇·2r=啦·2r，证明了“哇”和“啦”其实是一个东西，也就是说，对于圆而言，直径与周长的关系，和直径与面积的关系，是同一个东西。而且这个东西，在3的附近。

也就是说，圆的面积=这个东西·r²，圆的周长=这个东西·2r。

最好玩的，还可以看到，圆的面积的导数，A’(○)=这个东西·2r，也就是周长。

总的来说，这可以算得上一本对微积分的异向解读。之所以说是异向，就在于作者试图从一个小白的角度来重新定义和解读微积分。说是小白，其实并不“白”，还是需要一定数学基础的。至少我在读的过程中，时不时感到吃力。

基于这个异向解读，作者传递给我们这样的信息——数学更像是一门艺术，而非我们想象的那么“硬”，它起初就是被人们创造出来用于解决实际问题的，而且，随着问题的升级，需要不断发明出新的观念和想法来解决问题。

微积分本身就是这种创造力和艺术的体现。