交替电、磁场中的周期轨迹

江苏卷中的粒子偏转的老题

在科学研究中， 可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示的 xOy 平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t 作周期性变化的图象如图所示。x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向。在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和+q。不计重力。在 t=τ/2 时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动。

⑴求P在磁场中运动时速度的大小v₀；

⑵求B₀应满足的关系；

⑶在t₀(0<t₀<τ/2) 时刻释放P，求P速度为零时的坐标。

         

         

                 

带电粒子在交替场中的运动问题，题干中的不计重力，粒子做往复运动这些信息要注意到。

         

关于电场和磁场的图像要理解正确，两种场交替存在于空间。任一时刻，空间中只存在一种场，电场的方向不变，磁场的方向在变化。

         

（1）应该属于送分问。释放时间确定，

时刻粒子进入磁场中做匀速圆周运动。动量定理计算粒子第一次进入磁场时的速度大小。

         

（2）问开始考基本常识了。需要满足题干中的沿一定轨道做往复运动。

粒子第一次在磁场中运动时，运动轨迹不应该是整圆，若是整圆，再次换回电场后，粒子会再次被加速，衔接上第一次在电场中的运动轨迹继续向+x方向加速，下一次换回磁场，做圆周运动的半径增大，周期不变，再次做整圆，换回电场再次加速。没有往复运动的可能。

         

粒子在磁场中结束第一次运动后，速度方向应该沿-x方向，接下来在电场力的作用下先减速，然后反向加速，变换磁场后再运动到第一次电场中结束运动的末端，但速度反向，再次先减速后加速，达到重复的目的。

         

所以粒子第一次在磁场中运动时，运动的时间是半周期的奇数倍。

有了这个结果再体会一下第二问的问法，B₀应满足的关系，而非确定的值，是不是有点暗示的意味呢？解答时估计会漏掉这个多解性，磁场中因为圆周运动的重复性要考虑到多解性。

         

（3）粒子第一次进入磁场时，先加速。

粒子第一次速度为零的坐标（0，2R₁）

粒子第一次减速为零后，反向加速为：

然后再次进入反向磁场中偏转，偏转半径为：

         

      

         

         

           

从反向磁场中出来后，粒子速度方向沿-x方向，先减速后加速，减速为0的位置x轴上坐标恰好又是0，再向+x方向加速x₁距离后再次进入磁场中偏转。类似波动一样在时空上重复。

上图中两次偏转半径的比例较大，比例较小时结论不变。

         

综合速度为零的各个时刻的坐标。通式可写为：

         

粒子偏转