2023真题压轴系列12

螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。

（1)求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（3)科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示。根据在r>R范围内恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r>R)存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。求r=nR内暗物质的质量M’。

         

     

审清题意，就没什么难度了。

题干第一句：“螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球内，球体外仅有极少的恒星。”，把星系的组合方式交待得很清楚了。是彼此间通过万有引力作用“牵连”在一起的大量恒星和星际物质，不是一个“烙饼状星系”，彼此是分散的，非聚合的。

第一问可以看作一个中心天体和环绕天体的模型。

第二问感觉是本题中的难点。题干中用于类比的提示语是一个难理解的点，电荷均匀分布的球壳对壳内电荷的电场力为零，根据库仑定律和万有引力定律表达式的相似性，可以类比出：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力也为零。

一旦类比过关了。再计算球体内恒星的线速度大小就变简单了，还是中心天体、环绕天体的模型，只不过中心天体的质量只计算环绕天体“轨迹内”的球体质量，“轨迹外”外的天体对环绕天体的引力为零，球体质量均匀分布，根据密度相同找出对应“中心天体”质量，也就通关了。

第三问考查的点多一些。首先通过图像上可以得出，球体外恒星的线速度大小差不多等于第二问中轨道半径为R的恒星对应的线速度大小；接下来需要清楚球体外的恒星之所以线速度大小不变，是受到了明暗两部分物质的万有引力作用，明物质对恒星的万有引力好计算，暗物质对恒心的引力又是一个难点，根据题意，暗物质只分布在球体外，对恒星的引力如何计算呢？

还是类比思维，第二问中类比出了均质球壳对壳内物体的引力为零，第三问需要知道的是均质球壳（把暗物质明化）对壳外物体的万有引力如何计算？

把一个实心的均质球体分为两部分，里边的实心部分和外边的球壳部分，根据万有引力定律，可以得出：计算均质球壳对壳外物体的万有引力时，可以把均质球壳看作处在球心的等质量的质点。这样一来，第三问也就通了。

本题的知识点中，暗物质不知道是啥物质，并不影响解题。对于读过一点有关相对论、宇宙演化等相关的课外书的话，对暗物质听说过，陌生感也就没有了。

难点只有一个：均质球壳对壳内、壳外物体的万有引力内、外有别，对壳内无引力作用，对壳外物体的引力可转化为处于球心处等质量质点的引力。