快乐课堂学数学-多余老师趣讲“函数”-中考数学专题
本讲义,由1305刘奕霄(中考个性化全面指导学生)在听课后起草,多余老师修改并点评。
整个初中学习了三种函数:一次函数,反比例函数,二次函数。函数部分是整个初中的精华,最起码也是之一,历年中考,最后一道大题必有函数,所以,它也被各所学校的数学老师所重视,而想要在中考中拿个好成绩,函数是必须拿下的一关。
[点评:函数是“数形结合”的典范,学好函数必须从“代数特征”和“几何特征”两方面进行学习,并将二者一一对应,做到“数形结合”,则函数无忧也。]
一、一次函数
一次函数是正规函数最基础的部分[没有“正规函数”一说,应为“基本函数”,只是该词在高中时才出现,现在想怎么说随意。],包括正比例函数和非正比例[一次]函数[数学语言要求严谨完整、无懈可击],通常一次函数的一般形式写为:Y=KX+B,其中K、B为常数,X为自变量,Y为变量(或因变量)[Y为X的函数,或叫因变量],而正比例函数则是一次函数的特殊形式,即当B=0时,此时,解析式为Y=KX。而在两种形式中K均不为0。
在一次函数中,K控制了函数图像的倾斜程度和方向,K为正数时,图像向上,K为负数时反之。而B则控制图像与Y轴的交点(简称Y点),当B=0时,也就是正比例比例函数时,图像过原点。二种形式图像均为直线。
[ Y=KX+B(K不为0)——解析式为一次整式——倾斜的直线(简称“斜直线”);
B为常数项——————当X=0时,Y=B————Y点(0,B);
说明:只要解析式为整式,则当X=0时,Y=常数项——Y点(0,常数项);
由Y=KX得K=Y/X————K为正XY同号————过一、三,升调,
K为负XY异号————过二、四,降调,
|K|越大———————倾斜程度越大。]
二、反比例函数
反比例函数图像为双曲线,且双曲线均无过原点的可能,每个曲线图像在同一个象限之内,而另一个则在与之相反的象限内,其解析式一般形式为Y=K/X,其中K、X均不为0。
反比例函数图象中的双曲线是关于原点对称的。
反比例函数Y=K/X可化简为K=XY,即该图像上一点横坐标与纵坐标的积为K值,而在几何中,就是该点与X轴、Y轴的距离所构成的矩形的面积为K值。故K在反比例函数图像中控制的是其双曲线所在象限及其与X或Y轴的距离。
[Y=K/X(K不为0)————解析式为-1次分式——关于原点成中心对称的双曲线;
K=XY——————————K为正XY同号——————图像在一、三,各自降,
K为负XY异号——————图像在二、四,各自升,
|K|=|X|*|Y|——————矩形面积=K,三角形面积=K/2。]
三、二次函数
二次函数是初中函数中最重要的一部分,其解析式为Y=AX方+BX+C,其中A、B、C为常数,且A不等于0。其图像为一抛物线形状。
在Y=AX方+BX+C中,A控制图像的开口方向,A为正数,则开口向上,A为负数则反之。
Y=AX方+BX+C的特殊形式[并不特殊,应称“顶点式”]为Y=A(X+H)方+B,其中的A、H、B为常数,该形式的解析式是由Y=AX方+BX+C化简而来[不是化简,是“配方变形”]。
二次函数图像是一个轴对称图形,其对称轴为X=-B/2A,其对称轴与图像交点为抛物线顶点(-B/2A,(4AC-B方)/4A)。
在Y=AX方+BX+C中,B与C同时控制抛物线开口大小[开口大小与B、C无关,由A控制],而C控制抛物线与Y轴的交点,而其与X轴的交点为((-B+-根号(B方-4AC))/2A,0),其中B方-4AC大于0时,图像与X轴有两个交点[与X轴交点简称“X点”],等于0时,只有一个交点,小于0时则没有交点。
[Y=AX方+BX+C(A不为0)————解析式为二次整式————抛物线(轴对称图形);
常数项C————————————X=0时,Y=C————————Y点(0,C);
二次项系数A统领大局,由Y=AX方知——A为正|X|越大Y越大——开口向上,
A为负|X|越大Y越小——开口向下,
|A|越大Y的变化越明显——|A|大开口小|A|小开口大;
由Y=A(X+B/2A)方+负判别式/4A——当X=-B/2A时Y有最值——对称轴X=-B/2A,
AB同号X小于0————对称轴在右,
AB异号X大于0————对称轴在左;
当Y=0时,解析式变成一元二次方程——判别式大于0————过X轴,两X点,
判别式=0——————与X轴相切,一X点
判别式小于0————不过X轴,无X点。]
在各个函数之外,还有三角函数,即SIN、COS、TAN、COT,指特殊角[应为“锐角”]的对边、邻边或斜边与其它某一边的比值,只出现在直角三角形中,常与勾股定理合用。
[正为对,余为邻,弦为斜,切是两直角边相比。
三角函数就是三边比,知道一个就全知道。
特殊角的三角函数值不用记,只要记得三边比。
30度、60度,1、2、根号3;45度,1、1、根号2。]
函数在初中只不过学了个皮毛而已,但其重要性却早已不言而喻,这点从数学老师在讲这几部分时,所用去的时间即可看出一二。所以,函数的学习是极为重要的。
[函数是否掌握的好,不仅直接决定中考数学能否得高分,还将决定你的高中数学成绩。]
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