快乐课堂学数学-多余老师趣讲“乘法公式五胞胎”

乘法公式有以下三种：

（A+B）方=A方+B方+2AB；（A-B）方=A方+B方-2AB；（A+B）（A-B）=A方-B方

前两种称为“完全平方公式”，第3种称为“平方差公式”。

注意到多余老师所写的完全平方公式的形式，与常见的形式，在顺序有所不同。这是为什么呢？

完全平方的常见形式是：（A+B）方=A方+2AB+B方，（A-B）方=A方-2AB+B方。

这种形式是按“结果按降幂或升幂书写”。

多余老师在这要强调的是：

1，做为最终结果，必须这样，这才符合代数式的书写规则。

2，不是最终结果时，就不必要必须这样写，完全可以根据交换律，合适地调整顺序。

下面，多余老师说说完全平方分式的“多余形式”的妙用——就是本文题目提到的“五胞胎”。

多余老师从3个乘法公式中提取了“五胞胎”：A+B，A-B，AB，A方+B方，A方-B方。

分别是：两数的“和，差，积，平方和，平方差”。

多余老师在这又要提醒强调一下：在中学所说的“数”，其实是“式”——代数式。

这了加深对五胞胎的理解，多余老师带着先做以下活动：

一、把五胞胎分别表示出来：

（A+B）方=A方+B方+2AB；A+B=（A方-B方）/（A-B）

（A-B）方=A方+B方-2AB；A-B=（A方-B方）/（A+B）

AB=[（A+B）方-（A方+B方）]/2；AB=[（A-B）方-（A方-B方）]/2

A方+B方=（A+B）方-2AB；A方+B方=（A-B）方+2AB

A方-B方=（A+B）（A-B）

从以上可以看到，五胞胎中的每一个都可以用其他两兄弟来进行表示。

以上的5组表示，都是只利用了1个乘法公式写出，还比较直接。

如果，用这5组表示再代入，就会得到一些比较间接的表达式：

（A+B）方=（A-B）方+4AB

（A-B）方=（A+B）方-4AB

AB=[（A+B）方-（A-B）方]/4

A方+B方=[（A+B）方+（A-B）方]/2

（A方-B方）方=（A方+B方）方-（2AB）方

二、用五胞胎的想到表示来编题目

前在已经看到，五胞胎的每一个都可以用其他两兄弟进行表示。

于是，由此就引申出许多题目，题目是做不完的，但题目类型却是有限的。

那么，用两兄弟表示其他三兄弟，共有多少种题型呢？

五胞胎中每次出两兄弟，则共有5*4/2=10种组合。

而已知A+B与A-B，或已知A方+B方和A方-B方，都可以直接解方程求出A和B，所以不算五胞胎的量型

说明：课本和一般辅导书已有内容，一般不再重复。

而常见的组合有：

AB分别与A+B，A-B，A方+B方配；A方+B方分别与A+B，A-B配。

而A方-B方分别与A+B，A-B分别配，因直接用平方差公式，较少出现；

A方-B方与AB配的组合，因为稍复杂一些，也较少出现。

三、利用隐含条件的五胞胎题型

1、利用互为倒数的两数积=1

如：已知X+1/X=3，求五胞胎其他兄弟

在此基础上再变形为：已知X方-3X+1=0，求五胞胎。此型必须附加条件：X不等于0。

2、利用勾股定理A方+B方=C方

此时A，B为两直角边的长度

在直角三角形中经常出现：已知斜边长（即已知A方+B方）和两直角边的和或差（即已知A+B或A-B），求直角三角形面积（即求AB/2）。

3、利用韦过定理

即对于一元二次方程AX方+BX+C=0的两根为X1和X2，则X1+X2=-B/A，X1*X2=C/A

此类最典型的是求二次函数Y=AX方+BX+C与X轴两交点之间的距离（即求|X1-X2|）。

4、利用正弦和余弦的平方和=1（即SINA方+COSA方=1）

如：已知SINA+COSA=1求五胞胎，或求三角形ABC是何三角形。

四、从等式中寻找不等式

利用平方数大于等于0，可得（A-B）方=A方+B方-2AB大于等于0，即A方+B方大于等于2AB。

只有当A-B=0，即A=B时，A方+B方=2AB

此类型要到高中学均值不等式，才会专门学习。

多余老师在这多余地提出，要希望初中生要形成这种意识：从等式中寻找不等式。

特别是在高中，在还未学习均值不等式时，就经常出现这种函数：Y=X+1/X，或Y=X方+1/X方，求函数的最小值。

这就是利用了X*1/X=1或X方*1/X方=1，从而得出X+1/X大于等于2，X方+1/X方大于等于2。

五、多余老师的多余的话

多余老师在指导初中生、高中生时，或者在网上解答初中生、高中生的问题时，发现被五胞胎题型拦路的学生是比比皆是，数不胜数。

究其原因，根子还是在于数学意识没有建立。

从而体现为在数学学习上仍处于模仿性的学习。

多余老师在前面，依次提到的：等式的变形和组合，题型的自主设计，隐含条件的挖掘，从等式中寻找不等关系，这些都是数学意识的体现。

多余老师最害怕学生说这样的话：学校老师没进过；您说的和我学校老师讲的不一样，这样行不行呀。

如果这是小学生产的话，非常正常。

但如果，初中生、高中生还说这样的话，那么在数学学习上的麻烦就是非常地大哦。