快乐课堂学数学-多余老师趣讲“乘法公式五胞胎”
乘法公式有以下三种:
(A+B)方=A方+B方+2AB;(A-B)方=A方+B方-2AB;(A+B)(A-B)=A方-B方
前两种称为“完全平方公式”,第3种称为“平方差公式”。
注意到多余老师所写的完全平方公式的形式,与常见的形式,在顺序有所不同。这是为什么呢?
完全平方的常见形式是:(A+B)方=A方+2AB+B方,(A-B)方=A方-2AB+B方。
这种形式是按“结果按降幂或升幂书写”。
多余老师在这要强调的是:
1,做为最终结果,必须这样,这才符合代数式的书写规则。
2,不是最终结果时,就不必要必须这样写,完全可以根据交换律,合适地调整顺序。
下面,多余老师说说完全平方分式的“多余形式”的妙用——就是本文题目提到的“五胞胎”。
多余老师从3个乘法公式中提取了“五胞胎”:A+B,A-B,AB,A方+B方,A方-B方。
分别是:两数的“和,差,积,平方和,平方差”。
多余老师在这又要提醒强调一下:在中学所说的“数”,其实是“式”——代数式。
这了加深对五胞胎的理解,多余老师带着先做以下活动:
一、把五胞胎分别表示出来:
(A+B)方=A方+B方+2AB;A+B=(A方-B方)/(A-B)
(A-B)方=A方+B方-2AB;A-B=(A方-B方)/(A+B)
AB=[(A+B)方-(A方+B方)]/2;AB=[(A-B)方-(A方-B方)]/2
A方+B方=(A+B)方-2AB;A方+B方=(A-B)方+2AB
A方-B方=(A+B)(A-B)
从以上可以看到,五胞胎中的每一个都可以用其他两兄弟来进行表示。
以上的5组表示,都是只利用了1个乘法公式写出,还比较直接。
如果,用这5组表示再代入,就会得到一些比较间接的表达式:
(A+B)方=(A-B)方+4AB
(A-B)方=(A+B)方-4AB
AB=[(A+B)方-(A-B)方]/4
A方+B方=[(A+B)方+(A-B)方]/2
(A方-B方)方=(A方+B方)方-(2AB)方
二、用五胞胎的想到表示来编题目
前在已经看到,五胞胎的每一个都可以用其他两兄弟进行表示。
于是,由此就引申出许多题目,题目是做不完的,但题目类型却是有限的。
那么,用两兄弟表示其他三兄弟,共有多少种题型呢?
五胞胎中每次出两兄弟,则共有5*4/2=10种组合。
而已知A+B与A-B,或已知A方+B方和A方-B方,都可以直接解方程求出A和B,所以不算五胞胎的量型
说明:课本和一般辅导书已有内容,一般不再重复。
而常见的组合有:
AB分别与A+B,A-B,A方+B方配;A方+B方分别与A+B,A-B配。
而A方-B方分别与A+B,A-B分别配,因直接用平方差公式,较少出现;
A方-B方与AB配的组合,因为稍复杂一些,也较少出现。
三、利用隐含条件的五胞胎题型
1、利用互为倒数的两数积=1
如:已知X+1/X=3,求五胞胎其他兄弟
在此基础上再变形为:已知X方-3X+1=0,求五胞胎。此型必须附加条件:X不等于0。
2、利用勾股定理A方+B方=C方
此时A,B为两直角边的长度
在直角三角形中经常出现:已知斜边长(即已知A方+B方)和两直角边的和或差(即已知A+B或A-B),求直角三角形面积(即求AB/2)。
3、利用韦过定理
即对于一元二次方程AX方+BX+C=0的两根为X1和X2,则X1+X2=-B/A,X1*X2=C/A
此类最典型的是求二次函数Y=AX方+BX+C与X轴两交点之间的距离(即求|X1-X2|)。
4、利用正弦和余弦的平方和=1(即SINA方+COSA方=1)
如:已知SINA+COSA=1求五胞胎,或求三角形ABC是何三角形。
四、从等式中寻找不等式
利用平方数大于等于0,可得(A-B)方=A方+B方-2AB大于等于0,即A方+B方大于等于2AB。
只有当A-B=0,即A=B时,A方+B方=2AB
此类型要到高中学均值不等式,才会专门学习。
多余老师在这多余地提出,要希望初中生要形成这种意识:从等式中寻找不等式。
特别是在高中,在还未学习均值不等式时,就经常出现这种函数:Y=X+1/X,或Y=X方+1/X方,求函数的最小值。
这就是利用了X*1/X=1或X方*1/X方=1,从而得出X+1/X大于等于2,X方+1/X方大于等于2。
五、多余老师的多余的话
多余老师在指导初中生、高中生时,或者在网上解答初中生、高中生的问题时,发现被五胞胎题型拦路的学生是比比皆是,数不胜数。
究其原因,根子还是在于数学意识没有建立。
从而体现为在数学学习上仍处于模仿性的学习。
多余老师在前面,依次提到的:等式的变形和组合,题型的自主设计,隐含条件的挖掘,从等式中寻找不等关系,这些都是数学意识的体现。
多余老师最害怕学生说这样的话:学校老师没进过;您说的和我学校老师讲的不一样,这样行不行呀。
如果这是小学生产的话,非常正常。
但如果,初中生、高中生还说这样的话,那么在数学学习上的麻烦就是非常地大哦。
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