专题23 数列的基本知识与概念
【考点预测】
1．数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集
（或它的有限子集
）为定义域的函数
当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分：
3．数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列
的第
项与序号
之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列
的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【方法技巧与总结】
（1）若数列
的前
项和为
，通项公式为
，则
注意：根据
求
时，不要忽视对
的验证．
（2）在数列
中，若
最大，则
若
最小，则
【题型归纳目录】
题型一：数列的周期性
题型二：数列的单调性
题型三：数列的最大（小）项
题型四：数列中的规律问题
题型五：数列的最值问题
【典例例题】
题型一：数列的周期性
例1．已知无穷数列
满足
，且
，
，若数列
的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是
的取值（ ）
A．1147 B．1148 C．
D．
【答案】B
【分析】
当
时，分别令
，可求出数列
的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的
的取值；当
时，分别令
，可求出数列
的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的
的取值．
【详解】
①当
时，
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
为周期数列，周期为3，由
，
可知数列
的前2020项中有673项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
为周期数列，周期为3，由
，
可知数列
的前2020项中有673项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第3项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有672项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第4项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有672项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第6项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有671项为0；
依次类推，可知当
，或
时，
数列
的前2020项中有100项是0；
②当
时，
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第7项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有671项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第9项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有670项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第10项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有670项为0；
若
，则数列
的各项为
，
此时数列
从第12项开始为周期数列，周期为3，
由
，可知数列
的前2020项中有669项为0；
依次类推，可知当
，或
时，
数列
的前2020项中有100项是0．
综上所述，若数列
的前2020项中有100项是0，
则
可取的值有
．
故选：B．
【点睛】
本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件
探究数列
的性质，利用赋值法分别令
和
，可分别求出数列
的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．
例2．若
表示不超过
的最大整数（如
，
，
），已知
，
，
，则
（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
求出
，
，
，
，
，
，判断出
是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：
．
，
∴
，
，
，
同理可得：
；
；
．
；
，
，……．
∴
．
故
是一个以周期为6的周期数列，
则
．
故选：B．
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
例3．数列
满足
，
，其前
项积为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
依次代入
可得
是以
为周期的周期数列，由
可推导得到结果．
【详解】
当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；…，
数列
是以
为周期的周期数列，
，
．
故选：D．
例4．若数列
满足
，且
，则
的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
【答案】B
【分析】
由题意得
，根据
，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解．
【详解】
因为
，
所以
，
因为
，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以
的前100项的和为
，
故选：B．
例5．数列
满足
若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．
【详解】
因为
，所以
，所以数列具有周期性，周期为4，所以
．
故选：B．
【点睛】
本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．
例6．已知数列
满足，
，若
且记数列
的前
项和为
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．3028 C．
D．3029
【答案】C
【分析】
根据递推公式可逐个代入计算，得出数列
的周期为4，再根据
与前两项的范围可求得
，再分组求和求解
即可．
【详解】
设
，由
，得
，
，
．
故数列
的周期为4，即可得
．
，又
，
．
，即
．
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．
例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列
中，
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．5 D．
【答案】B
【解析】由题意得：
，则数列
的周期为3，则
．
故选：B．
例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．-1 D．2
【答案】D
【解析】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
，
，
，…，
∴数列
是以3为周期的周期数列，
，∴
，
故选：D．
题型二：数列的单调性
例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列
满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为单调递增数列，
，即
，解得：
，
即实数
的取值范围为
．
故选：B．
例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数
，若数列
满足
且
是递增数列，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为数列
是单调递增数列，则函数
在
上为增函数，可得
，
函数
在
上为增函数，可得
，可得
，
且有
，即
，即
，解得
或
．
综上所述，
．
故选：C．
例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列
的首项为
，
，且
，若数列
单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，因此有
，
得：
，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由
可得：
，
因为数列
单调递增，所以有
，
即
，解得：
，
故选：C
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列
前
项和
满足
（
），数列
是递增的，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：因为等比数列
前
项和
满足
（
），
所以
，
，
，
因为等比数列
中
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以
，
因为数列
是递增的，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
故选：C
例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列
满足
，若对于任意
都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由条件可得
，解出即可．
【详解】
因为对于任意
都有
，
所以
，解得
故选：C
例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递增数列， 则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由数列
是单调递增数列，可得
，从而有
恒成立，由
，可求得
的取值范围．
【详解】
由数列
是单调递增数列，所以
，
即
，即
（
）恒成立，
又数列
是单调递减数列，所以当
时，
取得最大值
，所以
．
故选：C．
【方法技巧与总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法
根据
的符号判断数列
是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据
与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断
题型三：数列的最大（小）项
例15．已知数列
的首项为1，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据
得出
，然后通过累加法求出
，根据均值不等式及
，即可求出结果．
【详解】
由
得
所以
则
所以
当且仅当
时等号成立，因为
，故取
或
最小，又
，所以
的最小值为1
故选：B
【点睛】
思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及
，求得最值．
例16．已知数列
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
-1 B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先根据累加法得
，进而得
，再结合函数
的单调性即可得当
时，
的最小值为
．
【详解】
解：由
得
，
所以
，
，
，
，
，
，
累加上述式子得：
，
所以
，
，
检验已知
时，
满足．
故
，
，
由于函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
，当
时，
，当
时，
，
所以
的最小值为
．
故选：C．
例17．已知数列
的前
项和
，且
，
，则数列
的最小项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】A
【分析】
由
与
的关系
化简即可求出
及
，可得
，分析单调性即可求解．
【详解】
∵
，
∴
，则
，即
，
∴
．
易知
，
∵
，
当
时，
，
∴当
时，
，
当
时，
，
又
，
∴当
时，
有最小值．
故选：A
例18．已知数列
的前n项和
数列
的前n项和
则
的最小值____
【答案】5
【分析】
由
和
的关系求出数列
的通项公式，再根据正负表示出数列
的通项公式为
，求出
，并表示出
，再分别求出
和
时的最小值，即可判断
的最小值．
【详解】
由题意，数列
的前n项和
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
数列
的前n项和
，
所以
，
当
时，
，当
时，
的最小值为6；
当360docimg_501_时，360docimg_502_，
由对勾函数的性质，当360docimg_503_时，360docimg_504_有最小值5；
综上所述，360docimg_505_的最小值为5
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查由360docimg_506_求数列通项公式的求法、等差数列前360docimg_507_项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题．
例19．数列360docimg_508_，360docimg_509_，360docimg_510_，360docimg_511_，中的最小项的值为__________．
【答案】360docimg_512_
【分析】
构造函数360docimg_513_，利用函数单调性分析最大值，得出数列360docimg_514_的最大项，即可得解．
【详解】
考虑函数360docimg_515_，360docimg_516_，
当360docimg_517_时，360docimg_518_，当360docimg_519_时，360docimg_520_，
所以360docimg_521_在360docimg_522_单调递增，在360docimg_523_单调递减，
即360docimg_524_在360docimg_525_单调递增，在360docimg_526_单调递减，
所以360docimg_527_在360docimg_528_单调递增，在360docimg_529_单调递减，
360docimg_530_
所以数列360docimg_531_的最大项为360docimg_532_，所以360docimg_533_的最小项为360docimg_534_．
故答案为：360docimg_535_
【点睛】
此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题．
【方法技巧与总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数360docimg_536_当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出360docimg_537_的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式360docimg_538_研究数列的单调性，利用360docimg_539_确定最大项，利用360docimg_540_确定最小项．
（3）比较法：若有360docimg_541_或360docimg_542_时360docimg_543_，则360docimg_544_，则数列360docimg_545_是递增数列，所以数列360docimg_546_的最小项为360docimg_547_；若有360docimg_548_或360docimg_549_时360docimg_550_，则360docimg_551_，则数列360docimg_552_是递减数列，所以数列360docimg_553_的最大项为360docimg_554_．
题型四：数列中的规律问题
例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以360docimg_555_表示第360docimg_556_幅图的蜂巢总数，则360docimg_557_（ ）；360docimg_558_（ ）．
360docimg_559_
A．35 360docimg_560_
B．36 360docimg_561_
C．37 360docimg_562_
D．38 360docimg_563_
【答案】C
【分析】
结合图形中的规律直接求出360docimg_564_和360docimg_565_，进而总结出递推公式360docimg_566_时，360docimg_567_，利用累加法即可求出结果．
【详解】
由图中规律可知：360docimg_568_，
所以360docimg_569_，
360docimg_570_，
360docimg_571_，
360docimg_572_，
因此当360docimg_573_时，360docimg_574_，
所以360docimg_575_
360docimg_576_
360docimg_577_
360docimg_578_，
经检验当360docimg_579_时，符合360docimg_580_，所以360docimg_581_，
故选：C．
例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：360docimg_582_，360docimg_583_，360docimg_584_，360docimg_585_，360docimg_586_，360docimg_587_，360docimg_588_，360docimg_589_，360docimg_590_，360docimg_591_，360docimg_592_，360docimg_593_，360docimg_594_．若数对360docimg_595_满足360docimg_596_，360docimg_597_，则数对360docimg_598_排在（ ）
A．第386位 B．第193位 C．第348位 D．第174位
【答案】D
【分析】
先求出360docimg_599_的值，再根据数对的特点推出数对360docimg_600_的位置
【详解】
解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第360docimg_601_组为360docimg_602_，数对中两数的和为360docimg_603_，共360docimg_604_个数，
由360docimg_605_，得360docimg_606_，
因为360docimg_607_，所以360docimg_608_，解得360docimg_609_，
所以360docimg_610_，
在所有数对中，两数之和不超过19的有360docimg_611_个，
所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17），
所以数对（3，17）排在第174位，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由360docimg_612_，得360docimg_613_，解出360docimg_614_的值，考查计算能力，属于中档题
例22．已知“整数对”按如下规律排列：360docimg_615_360docimg_616_360docimg_617_，360docimg_618_…，则第360docimg_619_个“整数对”为（ ）
A．360docimg_620_ B．360docimg_621_ C．360docimg_622_ D．360docimg_623_
【答案】C
【分析】
设“整数对”为360docimg_624_，由已知可知点列的排列规律是360docimg_625_的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项．
【详解】
设“整数对”为360docimg_626_，由已知可知点列的排列规律是360docimg_627_的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．
当360docimg_628_时只有1个360docimg_629_；
当360docimg_630_时有2个360docimg_631_；
当360docimg_632_时有3个360docimg_633_；
…；
当360docimg_634_时有360docimg_635_个360docimg_636_；
其上面共有360docimg_637_个数对．
所以第360docimg_638_个“整数对”为360docimg_639_，第360docimg_640_个“整数对”为360docimg_641_，
故选：C．
【点睛】
本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题．
例23．将正整数排列如下：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
则图中数360docimg_642_出现在
A．第360docimg_643_行360docimg_644_列 B．第360docimg_645_行360docimg_646_列 C．第360docimg_647_行360docimg_648_列 D．第360docimg_649_行360docimg_650_列
【答案】B
【分析】
计算每行首个数字的通项公式，再判断360docimg_651_出现在第几列，得到答案．
【详解】
每行的首个数字为：1，2，4，7，11…
360docimg_652_
利用累加法：
360docimg_653_
计算知：360docimg_654_
数360docimg_655_出现在第360docimg_656_行360docimg_657_列
故答案选B
【点睛】
本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键．
题型五：数列的最值问题
例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列360docimg_658_满足360docimg_659_，则数列360docimg_660_的最小值为（ ）
A．360docimg_661_ B．360docimg_662_ C．360docimg_663_ D．360docimg_664_
【答案】A
【解析】360docimg_665_在360docimg_666_上单调递减，在360docimg_667_上单调递增，
360docimg_668_当360docimg_669_时，360docimg_670_，
又360docimg_671_，360docimg_672_，360docimg_673_，
即360docimg_674_的最小值为360docimg_675_．
故选：A．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列360docimg_676_，360docimg_677_，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是360docimg_678_
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是360docimg_679_
【答案】B
【解析】令360docimg_680_，则360docimg_681_，360docimg_682_
当360docimg_683_时，360docimg_684_
当360docimg_685_时，360docimg_686_，由双勾函数的知识可得360docimg_687_在360docimg_688_上单调递增，在360docimg_689_上单调递减
所以当360docimg_690_即360docimg_691_时，360docimg_692_取得最大值，
所以此数列的最大项是360docimg_693_，最小项为360docimg_694_
故选：B．
例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列360docimg_695_中，360docimg_696_，360docimg_697_（360docimg_698_，360docimg_699_），则360docimg_700_的最小值是（ ）
A．360docimg_701_ B．360docimg_702_ C．360docimg_703_ D．360docimg_704_
【答案】C
【解析】由题意可得360docimg_705_，
当360docimg_706_时，360docimg_707_满足上式，则360docimg_708_．
因为360docimg_709_，
所以360docimg_710_，
所以360docimg_711_，
则360docimg_712_，
故360docimg_713_，当且仅当360docimg_714_时，等号成立．
故选：C
例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列360docimg_715_满足360docimg_716_，则360docimg_717_的最小值为（ ）
A．360docimg_718_ B．360docimg_719_ C．360docimg_720_ D．360docimg_721_
【答案】B
【解析】因为360docimg_722_
所以360docimg_723_．
设360docimg_724_．
若360docimg_725_有最小值，则360docimg_726_有最小值，
令360docimg_727_，则360docimg_728_
所以当360docimg_729_或360docimg_730_时﹐360docimg_731_的最小值为360docimg_732_．
故选：B
例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列360docimg_733_满足360docimg_734_，360docimg_735_，则360docimg_736_的最小值为（ ）
A．360docimg_737_ B．360docimg_738_
C．360docimg_739_ D．360docimg_740_
【答案】A
【解析】由题意可知，360docimg_741_，
则360docimg_742_，
又360docimg_743_在360docimg_744_上递减，在360docimg_745_上递增，
且360docimg_746_，
360docimg_747_时，360docimg_748_；
360docimg_749_时，360docimg_750_，
故选：A．
例29．（2022·全国·高三专题练习）设360docimg_751_，则数列360docimg_752_中最大项的值为（ ）
A．360docimg_753_ B．5 C．6 D．360docimg_754_
【答案】B
【解析】解：360docimg_755_，
360docimg_756_，360docimg_757_当360docimg_758_时，360docimg_759_取到最大值5．
故选：B．
例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列360docimg_760_的通项公式为360docimg_761_，360docimg_762_是数列360docimg_763_的最小项，则实数360docimg_764_的取值范围是（ ）
A．360docimg_765_ B．360docimg_766_
C．360docimg_767_ D．360docimg_768_
【答案】D
【解析】解：由题意可得360docimg_769_，
整理得360docimg_770_，
当360docimg_771_时，不等式化简为360docimg_772_恒成立，所以360docimg_773_，
当360docimg_774_时，不等式化简为360docimg_775_恒成立，所以360docimg_776_，
综上，360docimg_777_，
所以实数360docimg_778_的取值范围是360docimg_779_，
故选：D
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数360docimg_780_定义如下表，数列360docimg_781_满足360docimg_782_，且对任意的自然数360docimg_783_均有360docimg_784_，则360docimg_785_（ ）
360docimg_786_
360docimg_787_
360docimg_788_
360docimg_789_
360docimg_790_
360docimg_791_
360docimg_792_
360docimg_793_
360docimg_794_
360docimg_795_
360docimg_796_
360docimg_797_
A．360docimg_798_ B．360docimg_799_ C．360docimg_800_ D．360docimg_801_
【答案】B
【解析】由已知可得360docimg_802_，360docimg_803_，360docimg_804_，360docimg_805_，360docimg_806_，
以此类推可知，对任意的360docimg_807_，360docimg_808_，
360docimg_809_，所以，360docimg_810_.
故选：B.
2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为360docimg_811_，其前n项和为360docimg_812_，给出以下结论：①360docimg_813_；②182是数列360docimg_814_中的项；③360docimg_815_；④当n为偶数时，360docimg_816_．其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】数列360docimg_817_的偶数项分别为2，8，18，32，50，360docimg_818_，
通过观察可知360docimg_819_，同理可得360docimg_820_，
所以360docimg_821_,
因为360docimg_822_，所以①正确，③错误；
由360docimg_823_，解得360docimg_824_，由360docimg_825_，解得360docimg_826_，
又因为360docimg_827_，所以方程都无正整数解，所以182不是360docimg_828_中的项，故②错误．
当n为偶数时，360docimg_829_360docimg_830_，故④正确．
故选：C.
3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组360docimg_831_，360docimg_832_，360docimg_833_，360docimg_834_，360docimg_835_，…，根据规律，可得第8个数组为（ ）
A．360docimg_836_ B．360docimg_837_
C．360docimg_838_ D．360docimg_839_
【答案】C
【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；
数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．
因此第8个数组为360docimg_840_，即360docimg_841_．
故选：C.
4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列360docimg_842_满足360docimg_843_，360docimg_844_，则数列360docimg_845_的前2022项积为（ ）
A．360docimg_846_ B．360docimg_847_ C．360docimg_848_ D．360docimg_849_
【答案】A
【解析】由题意，360docimg_850_，360docimg_851_，360docimg_852_，
360docimg_853_ ，360docimg_854_，360docimg_855_，360docimg_856_，
∴360docimg_857_是周期为4的循环数列，在一个周期内的积为：360docimg_858_ ，
360docimg_859_ ，前2022项之积为505个周期之积360docimg_860_ ，
即360docimg_861_；
故选：A.
5．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列360docimg_862_满足360docimg_863_，则360docimg_864_（ ）
A．360docimg_865_ B．1 C．2 D．360docimg_866_
【答案】A
【解析】因为360docimg_867_，
所以360docimg_868_，360docimg_869_，
所以数列360docimg_870_是以周期为360docimg_871_的数列，即360docimg_872_.
故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列360docimg_873_的通项公式为360docimg_874_，则“360docimg_875_”是“数列360docimg_876_单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：数列360docimg_877_单调递增360docimg_878_，可得：360docimg_879_，化为：360docimg_880_.
∴360docimg_881_.
由“360docimg_882_”可得：360docimg_883_，可得：360docimg_884_.
∴“360docimg_885_”是“数列360docimg_886_单调递增”的充要条件，
故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列360docimg_887_满足360docimg_888_且数列360docimg_889_是单调递增数列，则360docimg_890_的取值范围是（ ）
A．360docimg_891_ B．360docimg_892_ C．360docimg_893_ D．360docimg_894_
【答案】A
【解析】由题意可得360docimg_895_解得360docimg_896_.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是（ ）
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
【答案】B
【解析】∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝360docimg_897_，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．
故选：B
9．（2022·上海普陀·二模）数列360docimg_898_的前360docimg_899_项的和360docimg_900_满足360docimg_901_，则下列选项中正确的是（ ）
A．数列360docimg_902_是常数列
B．若360docimg_903_，则360docimg_904_是递增数列
C．若360docimg_905_，则360docimg_906_
D．若360docimg_907_，则360docimg_908_的最小项的值为360docimg_909_
【答案】D
【解析】当360docimg_910_时，360docimg_911_，
当360docimg_912_时，360docimg_913_，则360docimg_914_，
而360docimg_915_不一定成立，故360docimg_916_不一定是常数列，A错误；
由360docimg_917_，显然360docimg_918_且360docimg_919_，即360docimg_920_不单调，B错误；
若360docimg_921_，则360docimg_922_，360docimg_923_，故360docimg_924_，360docimg_925_偶数项为3，奇数项为360docimg_926_，
而360docimg_927_，C错误；
若360docimg_928_，则360docimg_929_，360docimg_930_，故360docimg_931_，360docimg_932_偶数项为360docimg_933_，奇数项为2，故360docimg_934_的最小项的值为360docimg_935_，D正确.
故选：D
10．（2022·北京四中三模）已知数列{360docimg_936_}的通项为360docimg_937_，则“360docimg_938_”是“360docimg_939_，360docimg_940_”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，数列360docimg_941_的通项为360docimg_942_，
则360docimg_943_，
即360docimg_944_，对360docimg_945_恒成立，
当360docimg_946_时，360docimg_947_取得最小值360docimg_948_，所以360docimg_949_，
所以“360docimg_950_”是“360docimg_951_，360docimg_952_”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是180
C．此数列偶数项的通项公式为360docimg_953_ D．此数列的前360docimg_954_项和为360docimg_955_
【答案】ABC
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为360docimg_956_，
奇数项是后一项减去后一项的项数，360docimg_957_，故C正确；
由此可得360docimg_958_，故A正确；
360docimg_959_，故B正确；
360docimg_960_是一个等差数列的前360docimg_961_项，而题中数列不是等差数列，
不可能有360docimg_962_，故D错误．
故选：ABC．
12．（2022·全国·高三专题练习）若数列360docimg_963_满足360docimg_964_，则数列360docimg_965_中的项的值可能为（ ）
A．360docimg_966_ B．2 C．360docimg_967_ D．360docimg_968_
【答案】AC
【解析】由题意可得360docimg_969_，
360docimg_970_，
360docimg_971_，
360docimg_972_
所以数列360docimg_973_是周期为2的数列，
所以数列360docimg_974_中的项的值可能为360docimg_975_，360docimg_976_．
故选：AC．
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列360docimg_977_，360docimg_978_的一个通项公式是360docimg_979_
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，360docimg_980_，1，360docimg_981_，360docimg_982_与数列360docimg_983_，1，360docimg_984_，1，360docimg_985_是同一数列
D．数列360docimg_986_，360docimg_987_，360docimg_988_是递增数列
【答案】ACD
【解析】对于A，当通项公式为360docimg_989_时，360docimg_990_，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及360docimg_991_可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，数列360docimg_992_，360docimg_993_，360docimg_994_是递减数列，故选项D错误．
故选：ACD．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知360docimg_995_是360docimg_996_的前360docimg_997_项和，360docimg_998_，360docimg_999_，则下列选项错误的是（ ）
A．360docimg_1000_ B．360docimg_1001_
C．360docimg_1002_ D．360docimg_1003_是以360docimg_1004_为周期的周期数列
【答案】AC
【解析】因为360docimg_1005_，360docimg_1006_，则360docimg_1007_，360docimg_1008_，360docimg_1009_，
以此类推可知，对任意的360docimg_1010_，360docimg_1011_，D选项正确；
360docimg_1012_，A选项错误；
360docimg_1013_，B选项正确；
360docimg_1014_，C选项错误.
故选：AC.
15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an}满足360docimg_1015_，360docimg_1016_，则数列{an}中的项的值可能为（ ）
A．360docimg_1017_ B．360docimg_1018_ C．360docimg_1019_ D．360docimg_1020_
【答案】BC
【解析】数列360docimg_1021_满足360docimg_1022_360docimg_1023_，依次取360docimg_1024_代入计算得，360docimg_1025_，360docimg_1026_，360docimg_1027_，因此继续下去会循环；数列360docimg_1028_是周期为3的周期数列，所有可能取值为360docimg_1029_，
故选：BC.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列360docimg_1030_满足360docimg_1031_，360docimg_1032_，则下列各数是360docimg_1033_的项的有（ ）
A．360docimg_1034_ B．360docimg_1035_ C．360docimg_1036_ D．360docimg_1037_
【答案】BD
【解析】因为数列360docimg_1038_满足360docimg_1039_，360docimg_1040_，
360docimg_1041_；
360docimg_1042_；
360docimg_1043_；
360docimg_1044_数列360docimg_1045_是周期为3的数列，且前3项为360docimg_1046_，360docimg_1047_，3；
故选：360docimg_1048_．
17．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列360docimg_1049_各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中360docimg_1050_是集合360docimg_1051_中所有的数从小到大排列的数列，即360docimg_1052_，360docimg_1053_，360docimg_1054_，360docimg_1055_，360docimg_1056_，…，则下列结论正确的是（ ）
360docimg_1057_
A．第四行的数是17，18，20，24 B．360docimg_1058_
C．360docimg_1059_ D．360docimg_1060_
【答案】ABD
【解析】利用360docimg_1061_来表示每一项，由题可知：
第一行：3（0，1）；
第二行：5（0，2），6（1，2）；
第三行：9（0，3），10（1，3），12（2，3）；
第四行：17（0，4），18（1，4），20（2，4），24（3，4），
故A正确.
360docimg_1062_表示第360docimg_1063_行的第360docimg_1064_项，则360docimg_1065_，故B正确.
由360docimg_1066_表示第360docimg_1067_行的第1项，则360docimg_1068_，故C错误.
又360docimg_1069_表示第14行的第9项，所以360docimg_1070_，故D正确.
故选：ABD
18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）
360docimg_1071_
A．第6行第1个数为192
B．第10行的数从左到右构成公差为360docimg_1072_的等差数列
C．第10行前10个数的和为360docimg_1073_
D．数表中第2021行第2021个数为360docimg_1074_
【答案】ABD
【解析】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列360docimg_1075_，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列360docimg_1076_.
对于选项A：由题可知，每行第一个数满足下列关系：360docimg_1077_，所以第6行第1个数为360docimg_1078_，故A正确；
对于选项B：每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为360docimg_1079_的等差数列，选项B正确；
对于选项C：第10行的第一个数为360docimg_1080_，公差为360docimg_1081_，所以前10个数的和为：360docimg_1082_，故C错误；
对于选项D：数表中第2021行中第一个数为360docimg_1083_，第2021行的公差为360docimg_1084_，故数表中第2021行第2021个数为360docimg_1085_，选项D正确.
故选：ABD.
19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为360docimg_1086_ D．此数列的前360docimg_1087_项和为360docimg_1088_
【答案】AC
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为360docimg_1089_，奇数项是后一项减去后一项的项数，360docimg_1090_，由此可得360docimg_1091_，A正确；360docimg_1092_，B错误；C正确；360docimg_1093_是一个等差数列的前360docimg_1094_项，而题中数列不是等差数列，不可能有360docimg_1095_，D错．
故选：AC．
20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{360docimg_1096_}的前n项和为360docimg_1097_，则下列说法正确的是（ ）．
A．360docimg_1098_是递增数列 B．360docimg_1099_是递减数列
C．360docimg_1100_ D．数列360docimg_1101_的最大项为360docimg_1102_和360docimg_1103_
【答案】BCD
【解析】解：因为360docimg_1104_，所以数列360docimg_1105_的最大项为360docimg_1106_和360docimg_1107_，故D正确；
当360docimg_1108_时，360docimg_1109_，
当360docimg_1110_时，由360docimg_1111_，得360docimg_1112_，
两式相减得：360docimg_1113_，
又360docimg_1114_，适合上式，
所以360docimg_1115_，故C正确；
因为360docimg_1116_，所以360docimg_1117_是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD
21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n，360docimg_1118_是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数360docimg_1119_以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如360docimg_1120_（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）
A．若n为质数，则360docimg_1121_ B．数列360docimg_1122_单调递增
C．数列360docimg_1123_的前5项和等于360docimg_1124_ D．数列360docimg_1125_为等比数列
【答案】AD
【解析】因为n为质数，故小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目为360docimg_1126_,
故此时360docimg_1127_，故A正确.
因为360docimg_1128_，所以360docimg_1129_，
故数列360docimg_1130_不是单调递增，故B错误.
小于等于360docimg_1131_的正整数中与360docimg_1132_互质的数为360docimg_1133_，
数目为360docimg_1134_，所以360docimg_1135_，
前5项和为360docimg_1136_，
故C错误.
小于等于360docimg_1137_的正整数中与360docimg_1138_互质的数的数为360docimg_1139_，
其数目为360docimg_1140_，
故360docimg_1141_，而360docimg_1142_，故数列360docimg_1143_为等比数列，
故D正确.
故选：AD.
三、填空题
22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列360docimg_1144_满足360docimg_1145_，则360docimg_1146_为递增数列”为假命题的数列360docimg_1147_的通项公式可以为360docimg_1148___________．
【答案】360docimg_1149_
【解析】因无穷数列360docimg_1150_满足360docimg_1151_，当360docimg_1152_时，360docimg_1153_，数列360docimg_1154_为递增数列，给定命题是真命题，
当360docimg_1155_时，360docimg_1156_，数列360docimg_1157_为递减数列，给定命题是假命题，
因此，取360docimg_1158_，显然有360docimg_1159_，360docimg_1160_，
所以360docimg_1161_.
故答案为：360docimg_1162_
23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列360docimg_1163_的通项公式：①360docimg_1164_是无穷数列；②360docimg_1165_是单调递减数列；③360docimg_1166_.这个数列的通项可以是__________.
【答案】360docimg_1167_，答案不唯一.
【解析】因为函数360docimg_1168_的定义域为360docimg_1169_，且360docimg_1170_在360docimg_1171_上单调递减，360docimg_1172_，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是：360docimg_1173_.
故答案为：360docimg_1174_，答案不唯一.
24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列360docimg_1175_的通项公式：360docimg_1176___________．
①360docimg_1177_；②数列360docimg_1178_是单调递减数列；③数列360docimg_1179_是一个等比数列．
【答案】360docimg_1180_（答案不唯一）
【解析】由③可知，360docimg_1181_（360docimg_1182_为非零常数），即360docimg_1183_，可得360docimg_1184_为等比数列，
由①可知，360docimg_1185_，
由②可知，360docimg_1186_，则360docimg_1187_，则360docimg_1188_，则360docimg_1189_，
所以360docimg_1190_，其中360docimg_1191_.
故答案为：360docimg_1192_（答案不唯一）.
25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知360docimg_1193_，若360docimg_1194_对于任意360docimg_1195_恒成立，则实数360docimg_1196_的取值范围是_______．
【答案】360docimg_1197_
【解析】因为360docimg_1198_，且360docimg_1199_对于任意360docimg_1200_恒成立，
所以360docimg_1201_对于任意360docimg_1202_恒成立，即360docimg_1203_，
令360docimg_1204_，则360docimg_1205_，
因为360docimg_1206_，360docimg_1207_，360docimg_1208_，
且360docimg_1209_对于任意360docimg_1210_恒成立，
所以360docimg_1211_，即360docimg_1212_，
所以实数360docimg_1213_的取值范围是360docimg_1214_.
故答案为：360docimg_1215_.
26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列360docimg_1216_中，360docimg_1217_，则数列360docimg_1218_中的最大项的360docimg_1219_________ .
【答案】6或360docimg_1220_【解析】360docimg_1221_，
令360docimg_1222_，解得360docimg_1223_，
即360docimg_1224_时，360docimg_1225_，
当360docimg_1226_时，360docimg_1227_，
所以360docimg_1228_或360docimg_1229_最大，
所以360docimg_1230_或360docimg_1231_.
故答案为：6或7.
27．（2022·山西·模拟预测（理））数列360docimg_1232_中，已知360docimg_1233_，360docimg_1234_，360docimg_1235_，则360docimg_1236_的取值范围是___________.
【答案】360docimg_1237_
【解析】解：由题意知360docimg_1238_，
两式相加得360docimg_1239_，因此360docimg_1240_，
所以数列360docimg_1241_是以6为周期的周期数列，
令360docimg_1242_，则360docimg_1243_，
又由于360docimg_1244_，故360docimg_1245_.
故答案为：360docimg_1246_.
28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列360docimg_1247_满足360docimg_1248_，360docimg_1249_，则360docimg_1250_的值为______．
【答案】360docimg_1251_
【解析】由题设360docimg_1252_，则360docimg_1253_，而360docimg_1254_，
所以360docimg_1255_，360docimg_1256_，360docimg_1257_，360docimg_1258_，…
故360docimg_1259_是周期为4的数列且360docimg_1260_，360docimg_1261_，360docimg_1262_，360docimg_1263_，
所以360docimg_1264_.
故答案为：360docimg_1265_
29．（2022·全国·模拟预测）在数列360docimg_1266_中，360docimg_1267_，360docimg_1268_，则360docimg_1269____．
【答案】360docimg_1270_
【解析】由360docimg_1271_，360docimg_1272_，可得360docimg_1273_，360docimg_1274_．
∴可得360docimg_1275_．所以数列360docimg_1276_的周期为3.
360docimg_1277_．
故答案为：360docimg_1278_.
