【考点预测】
1.比较大小基本方法
关系 | 方法 | |
做差法 与0比较 | 做商法 与1比较 | |
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2.不等式的性质
（1）基本性质
性质 | 性质内容 |
对称性 |
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传递性 |
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可加性 |
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可乘性 |
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同向 可加性 |
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同向同正 可乘性 |
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可乘方性 |
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【方法技巧与总结】
1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【题型归纳目录】
题型一：不等式性质的应用
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
题型四：不等式的综合问题
【典例例题】
题型一：不等式性质的应用
例1．（2022·北京海淀·二模）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项.
【详解】
对于A，令，显然，错误；
对于B，，
又不能同时成立，故，正确；
对于C，取，则，错误；
对于D，取，则，错误.
故选：B.
例2．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】
对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
例3．（2022·山西·模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，利用不等式的性质判断，对于B，利用基本不等式判断，对于C，利用指数函数的性质判断，对于D，举例判断
【详解】
∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数，满足，则，
即，故A一定成立；
因为，故B一定成立；
又，即，所以，故C一定成立；
对于D：令，，满足，此时，故D不一定成立．
故选：ABC
（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若 满足， ，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ，
，
，故D正确；
故选：ABD.
（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，
所以，
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.
【详解】
因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
【方法技巧与总结】
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断，再由作商法判断.
【详解】
因为函数是减函数，所以，所以
，所以，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.
例9．（2022·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】
【分析】
作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
【详解】
易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
故答案为：＜
例10．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较与的大小．
【答案】<
【解析】
【分析】
做差比较大小即可.
【详解】
,
<.
例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
利用作差法得出大小关系.
(1)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
即
(2)
因为，所以，当且仅当时，取等号.
故.
【方法技巧与总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.
【详解】
解：设，
则，解得，
故，
又因，
所以，
所以.
故选：A.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
例15．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（ ）
A．(1，3)
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】
因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A．
例17．（2022·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由结合不等式的性质得出答案.
【详解】
解：，即
故6x＋5y的取值范围为．
故答案为：
例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.
【答案】[1,13]
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】
二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案为：[1,13].
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求得的取值范围.
【详解】
由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则____________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
可以取特殊值时，恒成立，从而求出a和b﹒
【详解】
当时，恒成立，则对任意恒成立，
则时，恒成立
①
②
③
④
①+②
③+④
，
代入①
代入③
，
，
﹒
证明满足题意：
，则，
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
| ||||
|
| ↗ | 极大值：1 | ↘ | 极小值： | ↗ | 1 |
由表可知，|f(x)|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒
故答案为：-3.
【点睛】
本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a和b的不等式组，求出a和b的范围，从而确定a和b的取值﹒
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.
【答案】[e，7]
【解析】
【分析】
由题意可求得7；由lnb≥a可得（b），设函数f（x）（x），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值.
【详解】
∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a.
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴31.
从而7，
∵lnb≥a，∴（b），
设f（x）（x），则f′（x），
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x＝e时，f′（x）＝0，
∴当x＝e时，f（x）取到极小值，也是最小值.
∴f（x）min＝f（e）＝e.
∴e，
∴的取值范围是[e，7].
故答案为：[e，7].
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可
【详解】
因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4
故答案为：4
【方法技巧与总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.
题型四：不等式的综合问题
例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①，分析得到所以正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.
【详解】
解：①，若，所以矛盾，所以所以正确；
②，，设，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因为，所以不恒成立，如，所以该命题错误；
③，，设在单调递增，因为，所以恒成立，所以该命题正确；
④，，
设，
所以
，
所以函数在单调递增，在单调递减.
取
设，所以在单调递增，
，，
所以存在，
此时，
所以该命题错误.
故选：B
例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由得到或，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定.
【详解】
因为，所以，
显然，所以，
所以或，
即或；
若，则，，，；
若，则，，，；
即一定成立的是选项D.
故选：D.
例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A，作商比较，对于B，令判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断
【详解】
解：对于A选项，由于，，故由对数的定义得，，
所以
，所以，故错误；
对于B选项，令，则，此时，故错误；
对于C选项，因为，在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积，
所以，故正确；
对于D选项，由于，故错误．
故选：C
（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义得，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案.
【详解】
设切点为，
因为，所以，得，
所以，所以，
对于 A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，，
所以 ，当且仅当，又，即时，等号成立.
故选：BCD
（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知，360docimg_501_，且360docimg_502_，则（ ）
A．360docimg_503_ B．360docimg_504_
C．360docimg_505_ D．360docimg_506_
【答案】BD
【解析】
【分析】
由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断
【详解】
对于A，360docimg_507_，360docimg_508_，所以360docimg_509_，故A错误，
对于B，360docimg_510_，即360docimg_511_，360docimg_512_，360docimg_513_，故B正确，
对于C，360docimg_514_，360docimg_515_，故C错误，
对于D，360docimg_516_，当且仅当360docimg_517_时，等号成立，故D正确．
故选：BD
（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知360docimg_518_，360docimg_519_，且360docimg_520_，则下列不等关系成立的是（ ）
A．360docimg_521_ B．360docimg_522_ C．360docimg_523_ D．360docimg_524_
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断.
【详解】
对于A，由360docimg_525_ ，360docimg_526_ ，当且仅当360docimg_527_ 时等号成立，
360docimg_528_ ，360docimg_529_ ，360docimg_530_ ，
当且仅当360docimg_531_ 时等号成立，故A正确；
对于B，由360docimg_532_，得360docimg_533_ ，
由基本不等式得360docimg_534_ ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若360docimg_535_ 满足360docimg_536_，360docimg_537_ ，故C错误；
对于D，∵360docimg_538_，∴360docimg_539_ ，由B的结论得360docimg_540_ ，
360docimg_541_
360docimg_542_ ，
360docimg_543_ ，故D正确；
故选：ABD.
例29．（2022·全国·高三专题练习）若360docimg_544_，360docimg_545_，设360docimg_546_，则360docimg_547_的最小值为__．
【答案】360docimg_548_##360docimg_549_
【解析】
【分析】
将360docimg_550_化简可得360docimg_551_，由此即可求出结果.
【详解】
因为360docimg_552_
360docimg_553_．
当且仅当360docimg_554_，360docimg_555_时取等号．
所以360docimg_556_的最小值为360docimg_557_．
故答案为：360docimg_558_．
例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x、360docimg_559_，且360docimg_560_，给出下列四个结论：
①360docimg_561_；②360docimg_562_；③360docimg_563_；④360docimg_564_．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x＝0、y＝360docimg_565_3可判断②，取特殊值y＝360docimg_566_可判断③．
【详解】
对于①，∵360docimg_567_，
∴由360docimg_568_得，360docimg_569_，
即360docimg_570_，解得360docimg_571_(当且仅当360docimg_572_时取等号)，故①一定成立；
对于②，当360docimg_573_3时，360docimg_574_成立，但360docimg_575_不成立，故②不一定成立；
对于③，当360docimg_576_时，由360docimg_577_得360docimg_578_，
则360docimg_579_，即360docimg_580_，故③不一定成立；
④将360docimg_581_两边平方得360docimg_582_，
∴360docimg_583_，
由①可知：360docimg_584_
360docimg_585_，
∴360docimg_586_，当且仅当360docimg_587_时取等号，因此④一定成立﹒
故答案为：①④﹒
【点睛】
本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为360docimg_588_，从乙地到甲地的平均速度为360docimg_589_，他往返甲乙两地的平均速度为360docimg_590_，则（ ）
A．360docimg_591_ B．360docimg_592_
C．360docimg_593_ D．360docimg_594_
【答案】D
【解析】
【分析】
平均速度等于总路程除以总时间
【详解】
设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
360docimg_595_，360docimg_596_，360docimg_597_，
∴360docimg_598_，360docimg_599_，
故选:D.
2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知360docimg_600_，则（ ）
A．360docimg_601_ B．360docimg_602_
C．360docimg_603_ D．360docimg_604_
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值法，结合已知逐一判断即可.
【详解】
因为360docimg_605_，所以360docimg_606_，选项A正确；
当360docimg_607_时，显然满足360docimg_608_，但360docimg_609_，选项B不正确；
当360docimg_610_时，显然满足360docimg_611_，但360docimg_612_，选项C不正确；
当360docimg_613_时，显然满足360docimg_614_，但是360docimg_615_，选项D不正确，
故选：A
3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若360docimg_616_，则下列结论正确的是（ ）
A．360docimg_617_ B．360docimg_618_
C．360docimg_619_ D．360docimg_620_
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；
对于C， 360docimg_621_没有意义；
对于D，取特值判断.
【详解】
对于A，构造函数360docimg_622_，因为360docimg_623_单调递增，又360docimg_624_，所以360docimg_625_，360docimg_626_，360docimg_627_，故A答案不对；
对于B ，构造函数360docimg_628_，因为360docimg_629_单调递增，又360docimg_630_，所以360docimg_631_，360docimg_632_，故B答案正确；
对于C，360docimg_633_，360docimg_634_没有意义，故C答案不对；
对于D，取360docimg_635_时，360docimg_636_，故D答案不对；
故选：B.
4．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足360docimg_637_，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．360docimg_638_ B．360docimg_639_
C．360docimg_640_ D．360docimg_641_
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由360docimg_642_，因为360docimg_643_，可得360docimg_644_，当360docimg_645_不确定，所以A错误；
对于B中，只有当360docimg_646_不相等时，才有360docimg_647_成立，所以B错误；
对于C中，例如360docimg_648_，此时满足360docimg_649_，但360docimg_650_，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当360docimg_651_时，可得360docimg_652_成立，所以D正确.
故选：D.
5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数360docimg_653_、360docimg_654_满足360docimg_655_，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．360docimg_656_ B．360docimg_657_ C．360docimg_658_ D．360docimg_659_
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得360docimg_660_，360docimg_661_，利用基本不等式求解即可.
【详解】
对于A：当360docimg_662_，360docimg_663_时不成立，故A错误；
对于B：当360docimg_664_，360docimg_665_，所以360docimg_666_，360docimg_667_，即360docimg_668_，故C错误；
对于C：当360docimg_669_时不成立，故C错误；
对于D：因为360docimg_670_，所以360docimg_671_，又360docimg_672_，
所以360docimg_673_（等号成立的条件是360docimg_674_），故D正确.
故选：D.
6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知360docimg_675_，360docimg_676_，360docimg_677_，则以下正确的是( )
A．若360docimg_678_，则360docimg_679_ B．若360docimg_680_，则360docimg_681_
C．若360docimg_682_，则360docimg_683_ D．若360docimg_684_，则360docimg_685_
【答案】D
【解析】
【分析】
A：取特例360docimg_686_即可判断；
B：求出360docimg_687_，360docimg_688_，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；
C：根据不等关系360docimg_689_即可求解判断；
D：构造360docimg_690_并判断其范围，表示出360docimg_691_，结合C项范围即可判断.
【详解】
A：若360docimg_692_，取360docimg_693_，则360docimg_694_，故A错误；
B：若360docimg_695_，则360docimg_696_，360docimg_697_，∴360docimg_698_，故B错误；
C：当360docimg_699_时，∵360docimg_700_，∴360docimg_701_，∴360docimg_702_，∴360docimg_703_，故C错误；
D：当360docimg_704_时，360docimg_705_，
360docimg_706_，由C知，360docimg_707_，
360docimg_708_，360docimg_709_，故D正确.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知360docimg_710_，360docimg_711_，则下列结论正确的有（ ）
①360docimg_712_ ②360docimg_713_ ③360docimg_714_ ④360docimg_715_
A．360docimg_716_个 B．360docimg_717_个 C．360docimg_718_个 D．360docimg_719_个
【答案】B
【解析】
【分析】
求出360docimg_720_、360docimg_721_的值，比较360docimg_722_、360docimg_723_的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为360docimg_724_，360docimg_725_，则360docimg_726_，360docimg_727_.
对于①，360docimg_728_，则360docimg_729_，从而360docimg_730_，
360docimg_731_，则360docimg_732_，则360docimg_733_，即360docimg_734_，①对；
对于②，360docimg_735_，
因为360docimg_736_，则360docimg_737_，360docimg_738_，所以，360docimg_739_，②错；
对于③，360docimg_740_，
所以，360docimg_741_，
所以，360docimg_742_，③错；
对于④，构造函数360docimg_743_，其中360docimg_744_，则360docimg_745_.
当360docimg_746_时，360docimg_747_，则函数360docimg_748_在360docimg_749_上单调递增，
因为360docimg_750_，则360docimg_751_，即360docimg_752_，可得360docimg_753_，所以，360docimg_754_，④对.
故选：B.
8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列360docimg_755_为等差数列，数列360docimg_756_为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．360docimg_757_ B．360docimg_758_
C．360docimg_759_ D．360docimg_760_
【答案】D
【解析】
【分析】
对选项A，令360docimg_761_即可检验；对选项B，令360docimg_762_即可检验；对选项C，令360docimg_763_即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】
若360docimg_764_，则360docimg_765_
可得：360docimg_766_，故选项A错误；
若360docimg_767_，则360docimg_768_
可得：360docimg_769_，故选项B错误；
若360docimg_770_，则360docimg_771_
可得：360docimg_772_，故选项C错误；
不妨设360docimg_773_的首项为360docimg_774_，公差为360docimg_775_，则有：
360docimg_776_
360docimg_777_
则有：360docimg_778_，故选项D正确
故选：D
二、多选题
9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足360docimg_779_，下列不等式正确的是（ ）
A．360docimg_780_ B．360docimg_781_
C．360docimg_782_ D．360docimg_783_
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，利用360docimg_784_作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解.
【详解】
由于两个不相等的正实数a和b，满足360docimg_785_，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即360docimg_786_，故360docimg_787_，A错误；
由题意得：360docimg_788_，所以360docimg_789_，B正确；
360docimg_790_，其中360docimg_791_，但不知道a和b的大小关系，故当360docimg_792_时，360docimg_793_，当360docimg_794_时，360docimg_795_，C错误；
360docimg_796_，其中360docimg_797_，360docimg_798_，所以360docimg_799_，即360docimg_800_，D正确.
故选：BD
10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知360docimg_801_，且360docimg_802_，则下列结论正确的是（ ）
A．360docimg_803_ B．360docimg_804_ C．360docimg_805_ D．360docimg_806_
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质依次判断选项即可.
【详解】
A：由360docimg_807_且360docimg_808_，可知a>0，c<0，b的值不确定，
故由360docimg_809_，不能推出360docimg_810_，故A错误；
B：由360docimg_811_，得360docimg_812_，故B正确；
C：由于360docimg_813_，360docimg_814_，得360docimg_815_，故C正确；
D：由360docimg_816_得360docimg_817_.所以360docimg_818_，故D正确，
故选：BCD.
11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a，b，c满足360docimg_819_，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．360docimg_820_ B．360docimg_821_
C．360docimg_822_ D．360docimg_823_
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，利用幂函数的性质判断，对于BC，利用对数函数的性质判断，对于D，利用不等式的性质分析判断
【详解】
对于A，因为360docimg_824_，所以360docimg_825_在360docimg_826_上单调递增，因为360docimg_827_，所以360docimg_828_，所以360docimg_829_，所以A错误，
对于B，因为360docimg_830_，所以当360docimg_831_时，360docimg_832_，因为360docimg_833_，所以360docimg_834_，所以360docimg_835_，所以B正确，
对于C，因为360docimg_836_，所以360docimg_837_，所以360docimg_838_，所以C错误，
对于D，因为360docimg_839_，所以360docimg_840_，所以360docimg_841_，所以D正确，
故选：BD
12．（2022·河北保定·一模）已知360docimg_842_、360docimg_843_分别是方程360docimg_844_，360docimg_845_的两个实数根，则下列选项中正确的是（ ）.
A．360docimg_846_ B．360docimg_847_
C．360docimg_848_ D．360docimg_849_
【答案】BD
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中画出360docimg_850_的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.
【详解】
函数360docimg_851_在同一坐标系中的图象如下：
360docimg_852_
所以360docimg_853_，
所以360docimg_854_
所以360docimg_855_
所以360docimg_856_，360docimg_857_
故选：BD
三、填空题
13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x，360docimg_858_，满足360docimg_859_，给出下列四个结论：①360docimg_860_；②360docimg_861_；③360docimg_862_；④360docimg_863_．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】
①：因为360docimg_864_，
所以有360docimg_865_，故本结论一定成立；
②：当360docimg_866_时，显然360docimg_867_成立，但是360docimg_868_不成立，故本结论不一定成立；
③：当360docimg_869_时，显然360docimg_870_成立，但是360docimg_871_不成立，故本结论不一定成立；
④：因为360docimg_872_，所以360docimg_873_，由①可知：
360docimg_874_，
所以360docimg_875_，因此本结论一定成立，
故答案为：①④
14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数360docimg_876_、360docimg_877_满足360docimg_878_，360docimg_879_，则360docimg_880_的取值范围为______．
【答案】360docimg_881_
【解析】
【分析】
设360docimg_882_，利用待定系数法求出360docimg_883_的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：设360docimg_884_，则360docimg_885_，解得360docimg_886_，
所以360docimg_887_360docimg_888_，
因为360docimg_889_，360docimg_890_，
所以360docimg_891_，360docimg_892_，
所以360docimg_893_，
故答案为：360docimg_894_.
15．（2022·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
①360docimg_895_；②a3>b3；③360docimg_896_；④2ac2>2bc2；⑤360docimg_897_>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】
【分析】
对360docimg_898_分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
【详解】
令360docimg_899_，360docimg_900_，排除①，360docimg_901_，排除③选项，360docimg_902_，排除⑤.当360docimg_903_时，排除④.由于幂函数360docimg_904_为360docimg_905_上的递增函数，故360docimg_906_，②是一定成立的.由于360docimg_907_，故360docimg_908_.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【点睛】
本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的360docimg_909_举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.
16．（2022·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足360docimg_910_，360docimg_911_，则360docimg_912_的最小值是______.
【答案】360docimg_913_
【解析】
利用方程组形式，可得360docimg_914_，求得360docimg_915_后结合不等式性质即可求得360docimg_916_的最小值.
【详解】
设360docimg_917_
即360docimg_918_
所以360docimg_919_，解得360docimg_920_
所以360docimg_921_
因为360docimg_922_，360docimg_923_，
所以360docimg_924_
由不等式性质可知360docimg_925_
即360docimg_926_，当且仅当360docimg_927_时取等号，解得360docimg_928_.
综上可知，360docimg_929_的最小值为360docimg_930_.
故答案为：360docimg_931_.
【点睛】
本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知360docimg_932_，360docimg_933_，360docimg_934_．
（1）试比较360docimg_935_与360docimg_936_的大小，并证明；
（2）分别求360docimg_937_，360docimg_938_的最小值．
【答案】（1）360docimg_939_；证明见解析 ；（2） 360docimg_940_，360docimg_941_的最小值都是8．
【解析】
【分析】
（1）利用作差比较法，得到360docimg_942_，即可求解；
（2）化简360docimg_943_，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）360docimg_944_与360docimg_945_的大小为360docimg_946_，
证明：由360docimg_947_，
因为360docimg_948_，360docimg_949_，所以360docimg_950_，360docimg_951_，360docimg_952_，360docimg_953_，
所以360docimg_954_，所以360docimg_955_.
（2）因为360docimg_956_
360docimg_957_，
当360docimg_958_时取等号，
又由（1）360docimg_959_，所以360docimg_960_，360docimg_961_的最小值都是8．
18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b均为正实数.试比较360docimg_962_与360docimg_963_的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较360docimg_964_与360docimg_965_的大小.
【答案】（1）360docimg_966_≥360docimg_967_；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）将目标代数式作差得360docimg_968_，即可知大小关系；
（2）利用“作差法”有360docimg_969_，对a分类讨论即可判断大小.
【详解】
（1）∵a，b均为正实数，
∴360docimg_970_，即360docimg_971_≥360docimg_972_.
（2）由360docimg_973_.
①当a=0时，360docimg_974_0，则360docimg_975_360docimg_976_；
②当a<1且a≠0时，360docimg_977_0，则360docimg_978_360docimg_979_；
③当a>1时，360docimg_980_0，则360docimg_981_360docimg_982_.
综上，当a=0时，360docimg_983_360docimg_984_；当a<1且a≠0时，360docimg_985_360docimg_986_；当a>1时，360docimg_987_360docimg_988_.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①360docimg_989_；②360docimg_990_；③360docimg_991_，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.
【答案】可组成3个正确命题，证明见解析.
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可.
【详解】
（1）对②变形：360docimg_992_，由360docimg_993_得②成立，∴①③360docimg_994_②.
（2）若360docimg_995_，则360docimg_996_，∴①②360docimg_997_③.
（3）若360docimg_998_，则360docimg_999_，∴②③360docimg_1000_①.
综上所述，可组成3个正确命题.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与360docimg_1001_的取值范围.
【答案】－7＜a－b＜2；360docimg_1002_＜360docimg_1003_＜2.
【解析】
利用不等式的基本性质由2＜b＜8，得－8＜－b＜－2，再由 1＜a＜4，利用加法性质求解.
根据2＜b＜8，得360docimg_1004_＜360docimg_1005_＜360docimg_1006_，再由1＜a＜4，利用乘法性质求解.
【详解】
因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
因为2＜b＜8，
所以360docimg_1007_＜360docimg_1008_＜360docimg_1009_，
所以360docimg_1010_＜360docimg_1011_＜360docimg_1012_＝2，
即360docimg_1013_＜360docimg_1014_＜2.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，变形转化是关键，属于基础题.
21．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知360docimg_1015_
(1)证明：360docimg_1016_；
(2)已知360docimg_1017_，360docimg_1018_，求360docimg_1019_的最小值，以及取得最小值时的360docimg_1020_，360docimg_1021_的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为360docimg_1022_， 360docimg_1023_或360docimg_1024_
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明不等式；
（2）令360docimg_1025_代入（1）中不等式可得最小值及取得最小值是360docimg_1026_值．
(1)
因为360docimg_1027_
360docimg_1028_
360docimg_1029_
360docimg_1030_，
所以360docimg_1031_，当且仅当360docimg_1032_时取等号．
(2)
由（1）可得360docimg_1033_，
所以360docimg_1034_，即360docimg_1035_，
当且仅当360docimg_1036_时取等号．
由360docimg_1037_，解得360docimg_1038_或360docimg_1039_．
综上，360docimg_1040_的最小值为360docimg_1041_，此时360docimg_1042_，360docimg_1043_的值为360docimg_1044_或360docimg_1045_．
22．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数360docimg_1046_，其图像过点360docimg_1047_，且与直线360docimg_1048_有交点.
（1）求证：360docimg_1049_；
（2）若直线360docimg_1050_与函数360docimg_1051_的图像从左到右依次交于 A，B，C，D四点，若线段360docimg_1052_能构成钝角三角形，求360docimg_1053_的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）360docimg_1054_.
【解析】
【分析】
（1）函数360docimg_1055_的其图象与直线360docimg_1056_有交点，得到360docimg_1057_有实根，根据判别式即可求出答案；
（2）点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，360docimg_1058_，据线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得到360docimg_1059_的关系，再设360docimg_1060_是方程360docimg_1061_的两根和360docimg_1062_是方程360docimg_1063_=0的两根，代入计算即可.
【详解】
解：（1）因为360docimg_1064_，360docimg_1065_，
所以360docimg_1066_，360docimg_1067_
又因为360docimg_1068_，
所以360docimg_1069_；
又因为函数360docimg_1070_的图象与直线360docimg_1071_有交点，
所以方程360docimg_1072_有实根，即
360docimg_1073_.
所以360docimg_1074_，知360docimg_1075_或360docimg_1076_.
综上可得360docimg_1077_；
（2）因为点A与点D、点B与点C关于对称轴对称，
设360docimg_1078_，360docimg_1079_，
因为线段360docimg_1080_，360docimg_1081_，360docimg_1082_能构成钝角三角形，
所以360docimg_1083_，得360docimg_1084_.
故360docimg_1085_，
所以360docimg_1086_.
设360docimg_1087_，360docimg_1088_是方程360docimg_1089_的两根，
则360docimg_1090_
设360docimg_1091_，360docimg_1092_是方程360docimg_1093_的两根，
所以360docimg_1094_
所以360docimg_1095_
解之得360docimg_1096_.
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