模型5:“平行线+角平分线”模型
条件:AB∥CD,CE平分∠ACD.
结论:AC=AE(∆ACE为等腰三角形).
动态几何验证
推理证明
已知:AB∥CD,CE平分∠ACD.
求证:AC=AE.
证明:
如上图,
∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠ECD.(两直线平行,内错角相等)
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ECD,
∴∠ACE=∠AEC,(等量代换)
∴AC=AE.(等角对等边)
逆向思维:
探究1:已知CE平分∠ACD,AC=AE.AB∥CD是否成立
证明:如上图,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ECD.
∵AC=AE,(已知)
∴∠ACE=∠AEC,(等腰对等角)
∴∠AEC=∠ECD,(等量代换)
∴AB∥CD.
探究2:已知AB∥CD,AC=AE.CE平分∠ACD是否成立.
证明:如上图,
∵AB∥CD,(已知)
∴∠AEC=∠ECD.(两直线平行,内错角相等)
∵AC=AE,(已知)
∴∠ACE=∠AEC,(等腰对等角)
∴∠ACE=∠ECD,(等量代换)
∴CE平分∠ACD.
归纳总结
文字语言:
平行线、角平分线以及等腰,任意由其中两个条件都可以得出第三个.(简称:“知二求一”.在以后还会遇到很多类似总结)
符号语言:
AB∥CD,CE平分∠ACD⇒AC=AE;
AB∥CD,AC=AE⇒CE平分∠ACD;
AC=AE,CE平分∠ACD⇒AB∥CD.
提示:此模型图应牢固掌握,“知二求一”应熟练推导过程.
拓展:平行四边形翻折模型
翻折(即对称),翻折对称得全等,在平行四边形翻折过程中常常会有等腰出现.
条件:▱ABCD,沿着BD翻折,C与C'对应点,交AD于点E.
结论:BE=DE.(∆BED为等腰三角形)
推理证明
分析:利用翻折对称现全等,可知角平分线;其次通过本节平行线与角平分线模型即可得出要证结论。
总结
平行四边形翻折常出现等腰三角形。
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