倍长中线
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或倍长类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移.
条件：AD为△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,
结论：△ABD≅△EDC.
倍长类中线
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点），连接ED并延长，使DF=DE,连接CF,
结论：△FCD≅△EBD.
倍长类中线拓展
条件：AB∥CD,E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点），连接FE并延长，交DC的延长线于点G,
结论：△AFE≅△CGE,
典例分析
例1.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=4,AC=8,则中线AD的取值范围是_________.
分析：倍长中线，将已知边和倍长后的边转化为同一三角形中，运用三边关系求范围.
解答：
如图，延长AD到点E,使AD=DE,连接CE.
∵点D是BC的中点，
∴BD=DC.
在△ADB和△EDC中，
AD=DE;∠ADB=∠EDC;BD=DC.
∴ADB≅△EDC(SAS),
∴CE=AB=4,
∴AC-CE=8-4=4,
AC+CE=12,
根据三角形的三边关系，得4<AE<12,
∵AE=2AD,
∴2<AD<6.
小结：
1.三角形的三边关系是求线段范围的常用方法.
2.出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化.
例2.如图，已知D为△ABC的边BC的中点，DE⊥DF,则BE+CF( )
A.大于EF B.小于EF
C.等于EF D.与EF的大小关系无法确定
分析：倍长中线ED,构造全等三角形，将BE,CF和EF转移到同一个三角形中.
解：延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG.由BD=CD,∠BDE=∠CDG,可得△BED≅△CGD,∴CG=BE,∵DE⊥DF,DG=ED,∴EF=FG.在△FCG中，CF+CG>FG,∴BE+CF>EF,
答案为A.
小结：
1.出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形.
2.出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.
例3.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,AF=EF.
求证：AC=BE.
证明：
方法一：倍长中线
如图，延长AD到点G,使DG=AD,连接BG.
在△ADC和△GDB中，
AD=DG,∠ADC=∠GDB,DC=DB,
∴△ADC≅△GDB.(SAS)
∴∠CAD=∠G,BG=AC.
∵AF=EF,
∴∠AEF=∠CAD.
∴∠AEF=∠G.
∵∠BEG=∠AEF,
∴∠BEG=∠G.
∴BE=BG.
∴AC=BE.
方法二：倍长类中线
如图，延长AD到点G,使DG=ED,连接CG.
在△BDE和△CDG中，
DE=DG,∠EDB=∠GDC,BD=CD,
∴△BDE≅△CDG.(SAS)
∴∠BED=∠G,BE=GC.
∵∠BED=∠AEF,
∴∠AEF=∠G.
∴∠AEF=∠G.
∵AF=EF,
∴∠AEF=∠CAD.
∴∠G=∠CAD.
∴AC=CG.
∴AC=BE.
模型检测
1.如图，在△ABC中，AB=12,AC=20,求BC边上中线AD的范围.
2.
3.如图，已知D为线段BC的中点，AB=CE.
求证：∠A=∠CED.
4.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于点F.
求证：AF=EF.
5.如图1，已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.
(1)求证：四边形ABCD为矩形。
(2)E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE.
①如图2，若F为AD中点，DF=1.6,求CF的长度；
②如图2，若CE=4,CF=5,则AF+BC=______,AF=________.
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