中考冲刺：初中几何压轴题

模型回顾：

手拉手旋转型全等

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问题1：如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,点E为边AD上的一个动点（不与点A,D重合），点F在边DC上，且AE=DF,连接BD并延长至点G,使得DG=DF,连接GF、BF、EF、BE、EG.

(1)求证：BE=BF;

(2)如图②，延长FE、BA交于点H,若DE=1,EF=2,求BH的长；

(3)求证：  (BG-CF)=2GF.

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分析：

(1)要证明BE=EF,由已知可得△ABD是等边三角形，进而得到AB=BD,∠BDC=60°,结和AE=DF证得△ABE≅△DBF即可证得；

(2)要求BH的长，，由已知可得∠AHE=∠DFE,又由(1)知∠ABE=∠DBF,可得△BEF为等边三角形，则∠BEF=60°,∠HEB=120°,则可证△FDE∼△HEB,根据对应线段成比例即可求解；

(3)要证  (BG-CF)=2GF,由(2)知∠BDC=60°，又因B、D、C三点在同一条直线上，则可取FG中点H,连接DH,根据三角函数易得GF=  DG,再根据等边三角形的性质，边的等量代换即可证得.

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(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，如图，

∴AB=AD,

∵∠A=60°,

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ABD=∠BDC=60°,

AB=BD.

在△ABE和△DBF中，

  ,

∴△ABE≅△DBF(SAS),

∴BE=BF.

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(2)解：如图，

∵AB∥CD,

∴∠AHE=∠DFE,

由(1)知∠ABE=∠DBF,

∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+ABE=∠ABD=60°.

∴∠HEB=180°-∠BEF=120°,

∴△FDE∼△HEB,

∴  ,即  ,∴BH=4.

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(3)证明：如图，取FG的中点H,连接DH,

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°,

∴△BCD为等边三角形，

∴BD=CD,∠BDC=60°,

∵B、D、G三点在同一条直线上，

∴∠FDG=120°,

∵AE=DF=DG,

∴∠DFG=∠DGF=30°,DH⊥GF,

∴GF=2GH=2DG·cos30°=2DG×  =  DG,

∴BG=BD+DG=CD+DG=CF+DF+DG=CF+2DG,

∴BG-CF=2DG,

∴  (BG-CF)=  DG=2GF.

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问题2：如图，将菱形ABCD绕着点A逆时针旋转α,得到对应的菱形AB'C'D'，且AB'在AC上，AD'⊥AB.

(1)求α的度数；

(2)连接AE,若AB=4,求AE的长.

分析：(1)要求α的角度，已知AD'⊥AB,根据旋转的性质和菱形的性质即可求解；

(2)要求AE的长，可延长ED交AD'于点F,根据(1)可得∠ACD=30°，易求得DE=B'E,进而得到AE平分∠DAC,则可先求得FE的长，再根据三角函数求解即可.

解：(1)由旋转的性质知，∠D'AD=∠B'AB,

又∵四边形ABCD为菱形，

∴∠DAC=∠D'AD=∠B'AB,即3α=90°，α=30°.

(2)如图，延长ED交AD'于点F,

∵AB=4,∴AC=4  ,∴B'C=4  -4,

∵∠ACD=30°,∴EB'=2  -2=EB',

∴AE平分∠DAC,

∴∠FEA=45°,∵AD=4,∴FD=2,

∴FE=CD+FD-CE=  ,

∴AE=  EF=  .

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编辑 | 张旭