中考冲刺：初中几何压轴题

问题：如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB,E为AD中点，F、G分别在AB、BC上，且BF=CG.

(1)求证：EF=EG;

(2)CG=1,EF=2,求BC的长；

(3)如图②，M为BG中点，连接EM,CF,求证：EM⊥CF.

分析：(1)要证EF=EG,已知AD=2AB,易得∠ABE=∠ECG=45°,EB=EC,结合BF=CG即可证得△EBF≅△ECG,进而得出结论；

(2)要求BC的长，可连接FG,由(1)中结论易得△EFG为等腰直角三角形，进而求出FG的长，再根据勾股定理求得BG的长即可求解；

(3)要证EM⊥CF,也即是证∠MNC=90°,已知∠EOM=∠CBF,则证∠FCB=∠MEO即可，可取BC中点O,连接EO,再根据等腰三角形的性质易得MO= $\frac{1}{2}$ BF,又∵EO= $\frac{1}{2}$ BC,则可证明△EMO∼△CFB得出结论.

(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，E为AD中点，

∴AE=ED,

又∵AD=2AB,

∴AE=AB,ED=CD,

∴∠ABE=ECG=45°,且EB=EC,

∵BF=CG,

∴△EBF≅△ECG(SAS),

∴EF=EG.

(2)方法一：如图，连接FG,

由(1)可知，EF=EG,∠FEB=∠GEC,

∴∠FEG=∠BEC=90°,

∴△EFG为等腰三角形，

∵EF=2,∴FG= $2\sqrt{2}$ ,

∵CG=1,∴BF=1,

∴BG= $\sqrt{7}$ ,

∴BC=BG+GC= $\sqrt{7}$ +1.

方法二：如图，

设AB=x，则AF=x-1,AE=x,

在Rt△AEF中， $AE^{2} +AF^{2} =EF^{2}$ ,

即 $x^{2} +\left ( x-1 \right ) ^{2} =4$ ,

解得 $x_{1} =\frac{1+\sqrt{7} }{2}$ , $x_{2} =\frac{1-\sqrt{7} }{2}$ (舍去)，

∴BC=2x= $\sqrt{7} +1$ .

方法三：如图，和方法二类似，在Rt△EOG中,利用勾股定理列方程.

(3)证明：如图，取BC的中点O,连接EO,

∵BO= $\frac{1}{2}$ BC,BM= $\frac{1}{2}$ BG,

∴MO= $\frac{1}{2}$ BC- $\frac{1}{2}$ BG= $\frac{1}{2}$ CG= $\frac{1}{2}$ BF,

又∵EO= $\frac{1}{2}$ BC,∴ $\frac{EO}{BC} =\frac{MO}{BF}$ ,

又∵∠EOM=∠CBF=90°,

∴△EMO∼△CFB,

∴∠MEO=∠FCB,

∴MNC=90°,即EM⊥CF.

练习：已知：F为AB的中点，∠FEC=90°.

(1)若G为中点，求证BE⊥EG；

(2)若BE⊥EG，求证G为中点.

变式1：已知 $\frac{AF}{AB}=\frac{1}{3}$ ,∠FEC=90°.

(1)若 $\frac{DG}{CD}=\frac{1}{3}$ ，求证BE⊥EG；

(2)若BE⊥EG，求证 $\frac{DG}{CD}=\frac{1}{3}$ .

变式2：已知 $\frac{AF}{AB}=\alpha$ ,∠FEC=90°.

(1)若 $\frac{DG}{CD}=\alpha$ ，求证BE⊥EG；

(2)若BE⊥EG，求证 $\frac{DG}{CD}=\alpha$ .

在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭

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