中考冲刺：初中几何压轴题

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问题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°.

(1)求证：△PAB∼△PBC;

(2)求证：PA=2PC;

(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为  ，求证：  .

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分析：(1)要证明两个三角形相似，已知对应关系和一对角相等，考虑再找一对等角或两组成比例的边，题目中未给出线段的关系，可通过等量代换证明对应角相等，即可得出结论；

(2)由(1)中结论及等腰直角三角形的三边关系容易得出  ,进而得出  ,即可得出结论；

(3)分别过点P作边AB、BC、CA的垂线，通过等角的正切值相等得到  与  之间的关系，由(1)中结论得到  与  的关系，通过变形得出结论.

证明：(1)如图，

∵∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,

又∵∠APB=135°,

∴∠PBC=∠PAB,

又∵∠APB=∠BPC=135°,

∴△PAB∼△PBC.

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(2)方法一：如图，

∵△PAB∼△PBC,

∴  ,

在Rt△ABC中，AC=BC,

∴  ,

∴  ,  ,

∴PA=2PC.

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(2)方法二：

∵∠APB=∠BPC=135°,

∴∠APC=90°.

∵∠CAP<45°,

∴AP>CP.

如图，在线段AP上取一点D,使AD=CP,连接CD,

又∵∠PBA=∠BCP,

∴∠CAD=∠BCP.

∵AC=CB,

∴△ADC≅△CPB.

∴∠ADC=∠CPB=135°.

∴∠CAD+∠DCA=45°,

∴∠CDP=45°,

∴△PDC为等腰直角三角形，

∴CP=PD.

∴AD=PD=PC,

∴PA=2PC.

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(2)方法三：

如图，以点C为旋转中心，将△APC逆时针旋转90°得到△BP'C,连接PP',则

△PCP'是等腰直角三角形，

∴∠BPP'=∠BPC-∠CPP'=90°，

∠BP'P=∠BP'C-∠CP'P=45°,

∴△BPP'是等腰直角三角形，

∴PA=BP'=  PP'=  ×  PC=2PC.

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(3)如图，

如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D,PE⊥AC交AC于点E,PF⊥AB交AB于点F,

∴PF=  ,PD=  ，PE=  .

∵∠APB=∠BPC=135°,

∴∠APC=360°-(∠APB+∠BPC)=90°,

∴∠EAP+∠ACP=90°.

又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,

∴∠EAP=∠PCD,

∴Rt△AEP∼Rt△CDP,

由(2)知PA=2PC,

∴  ,即  ,

∴  .

∵△PAB∼△PBC,

∴  ,

∴  ,

∴  ,

即  .

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编辑 | 张旭