中考冲刺：初中几何压轴题

问题：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,点D在BC上，连接AD,作BF⊥AD交AD于点E,交AC于点F.

(1)如图①，若BD=BA,求证：∠BAD=∠C+∠CAD;

(2)如图②，若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M.

求证：①GM=2MC;

②  =AF·AC.

分析：(1)要证明∠BAD=∠C+∠CAD,根据等边对等角，三角形内外角的关系即可得出结论；

(2)①要证明GM=2MC,判断出△CDM∼△CHG,根据平行线分线段成比例即可得出结论；

②要证明  ,先判断出2NC=AG,再判断出△ANC∼△BFA,得出  ,进而判断出  ,即可得出结论.

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证明：(1)如图，

∵BD=BA,

∴∠BAD=∠BDA,

∵∠BDA=∠C+∠CAD,

∴∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD;

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(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于点H,

∵AG=BG,

∴BH=DH, 

∵BD=4DC,设DC=k,BD=4k,

∴BH=DH=2k,

∵GH∥AD,

∴  ,

∴GM=2MC;

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②如图，过点G作GH∥AG交AD的延长线于点N,

∴△AGM∼△NCM,

∴  ,

由①知，GM=2MC,∴2NC=AG,

∵∠BAC=∠AEB=90°,

∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE,

∴△BFA∼△ANC,

∴  ,

∵AB=2AG,

∴  ,

∴2CN·AG=AF·AC,

∴  .

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭