问题：已知正方形ABCD，点M为边AB 的中点.
（1）如图①.点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.
①求证∶BE=CF;
②求证∶BE²=BC·CE;
（2）如图②，在边BC上取一点E，满足BE²=BC·CE，连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值.
分析：（1）①要证明BE=CF，可通过证△ABE≅△BCF得到;
②要证明BE²=BC·CE，可先证明CG²=BC·CE，可通过证明△CGE∼△CBG得到;
（2）要求tan∠CBF的值，即要得到
（1）①证明：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,
又∵∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°,
又∵∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAE= ∠CBF.
∴△ABE≅△BCF（ASA），（文末总结“十字模型”）
∴BE=CF;
②证明∶方法一，如图
∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB,
∴∠GAM=∠AGM.
又∵∠CGE=∠AGM，
∴∠CGE=∠CBG,
又∵∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∼△CBG.
∴
即 CG²=BC·CE，
∵∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF,
∴CF=CG.
由①知，BE=CF，
∴BE=CG,
∴BE²=BC·CE;
②证明∶方法二，如上图
∵∠AGB=90°，点M是AB的中点，
∴MG=BM,
∴∠MGB=∠MBG=∠CFG=∠CGF,
∴CF =CG,
又由①知，CF=BE，
∴CG=BE.
∵∠CGF+∠CGE=90°,
∠MBG+∠GBE=90°,
∴∠CGE=∠EBG,
∴△CEG∼△CGB,
∴
∴CG²=BC·CE，
即BE²=BC·CE;
（2）解∶方法一，如图，延长AE，DC交于点N，
∵正方形ABCD是正方形，
∴AB//CD.
∴∠N=∠EAB.
又∵∠CEN= ∠BEA，
∴△CEN∼△BEA.
∴
∴即BE·CN=AB·CE.
∵AB=BC，BE²=BC·CE，
∴CN=BE.
∵AB∥DN,
∴
又∵AM=MB，
∴FC=CN=BE, 不妨假设正方形边长为1.
设BE=x，则由 BE²=BC·CE，得x²=1·（1-x）.
解得
∴
（2）解∶方法二，如图，不妨假设正方形边长为１，设BE=x，
则由BE²=BC·CE，得x²=1·（1-x）.
解得
即
如解图②，作GN∥BC交ＡB于点Ｎ，
则△MNG～△MBC，
∴
设MN=y，则GN=2y，GM=
∵
即
解得
∴GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上.
∴△AGB是直角三角形，且∠AGB=90°.
由(1)知BE=CF,
∴
模型总结：正方形中的十字模型
条件：正方形ABCD，∠AGB=90°
结论：△ABE≅△BCF.
条件：正方形ABCD，∠AGH=90°
结论：AE=FH.
条件：正方形ABCD，∠MGH=90°
结论：MN=FH.
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