初中几何压轴题

问题：如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，且满足DE=CF,AF交DF于点G.

(1)求证：AE⊥DF;

(2)如图②，当点E为CD中点时，连接BG、CG.

①取AB中点H,连接CH交DF于点J,求证：AD²=AE·DJ;

②求证：AG=  CG.

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分析：分析：(1)要证明AE⊥DF,即证∠AGD=90°，由已知可得∠ADE=90°，则只需证∠DAE=∠CDF即可，根据正方形的性质判定△ADE≅△DCF即可得证；

(2)要证AD²=AE·DJ,已知AD=DC,可通过证△ADE∼△DJC得证，由(1)知∠DAE=∠CDJ，还需一对等角，可根据已知判断四边形AECH为平行四边形，根据平行线的性质得到∠DJC=∠DGE=90°，即可得证；

(3)要证AC=  CG,由(1)知∠DGE=90°，易证△DAG≅△CDN,则证DN=  CG即可，又

DG=CN,∴只需证NC=GN即可.

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证明：(1)如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=CD,∠ADE=∠DCF,

又∵DE=CF,

∴△ADE≅△DCF（SAS）,

∴∠DAE=∠CDF,

∵∠ADG+∠EDG=90°，

∴∠DAG+∠ADG=90°,

∴∠AGD=90°,即AE⊥DF（十字模型）；

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证明：(2)①如图，

∵点E为CD的中点，H为AB的中点，

AB=CD,AB∥CD,

∴四边形AECH为平行四边形，

∴AE∥CH,

∴∠CJD=∠DGE,

由(1)知∠DGE=∠AGD=90°,

∴∠CJD=90°,

∴∠ADE=∠DJC=90°,

又∵∠DAE=∠CDJ,

∴△ADE∼△DJC,

∴  ,

∴AD·DC=AE·DJ,

∵AD=DC,

∴AD²=AE·DJ.

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证明：(2)②方法一：如图，过点C作CN∥EG交DF于点N,

∵点E为CD中点，CN∥GE,

∴点G为DN中点，

∴DG=NG,

由①知∠DGE=90°，

∴∠DNC=90°，

又∵AD=DC，∠DAG=∠CDN,

∴△DAG≅△CDN,

∴AG=DN=2DC,NC=DG=NG,

∴CG=  NG,AG=2NG,

∴AG=  CG.

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②方法二：如图，连接AC,EF.

由(1)知△ADE≅△DCF,

∴∠EAD=∠FDC,CF=DE=CE,

∴∠EFC=∠FEC=45°,

又∵AE⊥DF,

∴∠EGF=∠FCE=90°,

∴点E、G、F、C在以EF为直径的圆上，

∴∠EGC=∠EFC=45°,∠FGC=∠FEC=45°，

∴∠DEF=135°，

∴∠AGC=∠CGD=135°,

∴∠GAC+∠ACG=∠DAG+∠GAC,

∴△AGC∼△FED,

∴  ,即AG=  CG.

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编辑 | 张旭