小元:迟老师您好! 最近一些小学教学的群在议论负数教学呢!
迟老师:是啊!有什么看法?
小元:有老师说他在五年级教过负数,跟学生互动的不错,能接受的。
迟老师:负数学习有三段风景:
第一个阶段是比大小
第二个阶段是建立等式和恒等运算
第三个阶段是变号运算
小元:哦,还挺复杂的。
迟老师:只是第三段风景有点特别,前面的比较柔和。
小元:那学了负数,会聪明点吗?
迟老师:只要教学方法适当,会让看问题的方法有点不同。
小元:有那么神奇?
迟老师:比如说,你最少的钱是多少?
小元:零元啊! 兜里没钱,最少了。
迟老师:台湾的地铁有【捷运卡】,钱不够可以透支,出站刷卡就显示负数。
小元:哦! 欠比0,更少了!
迟老师:以后充值再扣。
小元:这个有趣!
迟老师:嗯, 我们在跟学前的小朋友讨论过负数,他们会想到:“负数是地下的大坑,很深很深!” 你看,“没有最小的数”这个概念就建立起来了。
小元:哦,像个负数深谷啊,景色特别——天坑。
贵州天坑
“没有最大的数,也没有最小的数”这就是看问题的角度不同了。
迟老师:高矮、冷暖、穷富、轻重等生活经验都要会落实在不等式上,才算有了数学成果。
小元:是不是在 -100元 和 -98元之间摆上不等号? -1℃ 和 -4℃中间摆不等号?海拔-45m 和 20m中间摆不等号?
迟老师:嗯,就是判断谁大?谁小?会建立不等式,就懂了负数的意义。
小元:那就是说“五十步笑百步”还是可以建立数学表达式的
-100步 < -50步
迟老师:(尬笑)
在有理数范围内有三类不等式:
一类: 正数 与 正数 5>2 7<13...
二类: 正数 与 负数 3 > -1 -3 < 2...
三类: 负数 与 负数 -1 > -4 -5 < -2...
小元:这么多情况,会不会乱?
迟老师:如果心里有根棍,就不会。
小元:(疑惑)
迟老师:就是竖起来的数轴。
小元:这是一种教具吗?
迟老师:具体的样子就是一个长条的木板,沿直线 有一串小孔,一个孔涂成红色。
小元:嗯。为什么要打孔?而不是画刻线?
迟老师:旁边有刻线,孔里插小棍,就表示一个具体数。具象,又直观。
小元:用这个可以做比大小,建立不等式了!
迟老师:如果有两块长板,各表示一个数,中间是不等号,就表示一个不等式:
-5 < -2
小元:在黑板上画不行吗?
迟老师:也可以,但是,不好玩了。
而且,将来讲恒等运算也很不方便。
小元:哦,我们这是进入第二个阶段:讲恒等运算了吗?
迟老师:嗯。
迟老师:以往的加减计算都用实物的增减:
2 + 3
但是,如果出现负数就不好使了。比如这样的题:
二丫头去超市买东西带了6元,去的时候把从家带来的纸箱子和饮料瓶卖了4元。她逛超市,出来时候购物车里有饮料3元,冰淇淋2元,薯片8元。正好碰见了大姑,又跟她要了4元钱。问:问二丫头结账时钱够不够?
这是一个典型的有出支出、有进账的过程,中间又出现了负数,用什么办法表现这个具体的数量变化过程呢?最好的办法是用“长条板”:
零的位置下移了
数轴要立起来,不能躺平。这是重要的形象支撑,这样,数量的涨落很清楚:二丫头兜里有的钱和她卖废品的钱,这样表示:
她从货架上往购物车放的东西这样表示:
碰见大姑後,得到的钱:
用脱式写出来就是:
6+4-3-2-8+4
=10-3-2-8+4
=7-2-8+4
=5-8+4
=-3+4 从这里出现了负数
=1 要会正负数计算才行
小元:二丫头很聪明啊!她要是不跟大姑要钱,真就不够了。
迟老师:当然,我们可以用简便运算的办法:
6+4-3-2-8+4
=10 -3 -10 +4
= -3 +4
=1
可见, 这里不可避免地要涉及负数运算,也得用那个长板子演示负数相加的道理。
小元:这个办法挺有趣。
用纵数轴演示正负数运算,就是进退运行。
是不是有一种【倒减法】的算法?
迟老师:嗯,这是在退位减法时用的。
小元:怎么“倒减”呢?
迟老师:顺减不够,就倒过来减啊!
个位:2 - 6 = 欠4
倒减得到的是负数嘛,叫做“欠几”,然后用一句珠算口诀,从十位退位:还。
小元:哦,这个办法是负数加减有效的运用,因为小孩子往往不理解“破十法”的减了又加 是怎么回事?
迟老师,这是负数深谷的哪个观景平台?
迟老师:这是第二个平台的风景。
小元:那第三个平台是什么样的风景呢?
迟老师:好,我们看看变号在什么情况下发生?
任何数学概念、运算都有现实的操作活动对应的。我们来看这个长板上的这个数:
这是+3
如果长板折跟头会怎么样?
小元:哦,成了 -3啊! 怎么用数学表达呢?
迟老师:这就是 (+3)×(-1),或 -(+3)
小元:哦!那 -5折了跟头,就变成 +5,是不是写成:
(-1)×(-5)
或 -(-5)
迟老师:对!这就是说“任何事情有可能走向它的反面”。正数走向反面就是 负数;负数走向反面就是 正数—— 负负得正。 这都是正负数的恒等运算法则。
小元:这是数学里的辩证法了。
有了这样的道理 我们就可以算这种题了:
620-3×98
=620 -3 ×(100-2)
=620 -3×100 -3×(-2)
=620 - 300 + 6
=326
生活中也有“负负得正”的道理吗?
迟老师:还有不少,大家可以打开思路找找,像:变废为宝、坏事变好事、好心办坏事、真理过头就是谬误、浪子回头、投诚、招降纳叛...
小元:老师,第三平台的风景还有别的吗?
迟老师:还有这样的恒等运算的风景,看这个点子操作——
○○○ ● ○ ○
○○○ ● → ○ ○
这就是: 6 - 2 = 4
问:如何移动这些点子後,还能保持相等呢?
这样移动:
┎———————↴
○○○ ● ○ ○ ○
○○○ ● = ○ ○ ○
算式表达为:6 -2 = 4 + 2
→ 6 = 6
这就是说,数字跨过等号,符号改变。叫做:
小元:这个不难。
不等式也一样:
○○○○ ○ > ○○ (差三)
4 +1 > 2
○○○○ > ○○ ●
4 > 2 -1
↓
○○○○ > ○ (差三)
4 > 1
我还有个问题,这里说“移项”,项是什么意思?
迟老师:项,是方程式中的重要概念。项的单位都一样,才能相加,项之间也才能移动 (符合“加法交换律”)
5人 + 6人 -3人
= 5人 -3人 +6人
项的前面如有“-”,那移项时候要跟随移动的。项的内部是乘除关系:
5人 + (3人/组×2组)
当然,也有“大项套小项”的:
620 -3 ×(100-2)
我们说的“先乘除,后加减”,就是先进行项内运算,再合并项:
5人 + (3人/组×2组)
= 5人 + 6人 ...
但是很多简便运算是要绕着这个规则走的,比如前面说的:
620-3×98
先算3×98,太麻烦了...
小元:移项变号挺简单的...
迟老师:嗯。还有一种变号的情况—— 各项同时变号。
迟老师:我们先这两个个关系式: 5 - 1 和 1 + 3,用长板表现就是:
5 - 1 = 1 + 3
他们是相等的 (绿线等高),长板折跟头後,成了:
-5 +1 = -1 -3
-5 +1 和 -1 -3 ,他们还是相等滴 (绿线等高),对吧。
小元:这是不是“等号两端同乘-1”?
迟老师:对的,就是这个意思。
我们再看:不等关系 同×(-1)。
5 - 1 和 4 + 3 比大小,用长板表现就是:
5 - 1 < 4 + 3
这是不等关系:左 < 右。
折跟头後,就成了:
左 < 右 变成了: 左 > 右,写出来是这样的:
5 - 1 和 4 + 3
4 < 7
回顾:两头 同×(-1):
-(5 - 1) 和 -(4 + 3)
⇩
-5 +1 和 -4 -3
-4 和 -7
-4 > -7
小元:哇! 有意思。
迟老师:这叫做——
各项正负变号,
大于小于改号。
小元:哇!是不是:
-2 > -6 → +2 < +6
5 -1 > -3 + 1 → -5 +1 < 3 -1
这个风景有点花眼啊!
迟老师:其实,就两句话:
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