小元：迟老师您好！ 最近一些小学教学的群在议论负数教学呢！
迟老师：是啊！有什么看法？
小元：有老师说他在五年级教过负数，跟学生互动的不错，能接受的。
迟老师：负数学习有三段风景：
第一个阶段是比大小
第二个阶段是建立等式和恒等运算
第三个阶段是变号运算
小元：哦，还挺复杂的。
迟老师：只是第三段风景有点特别，前面的比较柔和。
小元：那学了负数，会聪明点吗？
迟老师：只要教学方法适当，会让看问题的方法有点不同。
小元：有那么神奇？
迟老师：比如说，你最少的钱是多少？
小元：零元啊！ 兜里没钱，最少了。
迟老师：台湾的地铁有【捷运卡】，钱不够可以透支，出站刷卡就显示负数。
小元：哦！ 欠比0，更少了！
迟老师：以后充值再扣。
小元：这个有趣！
迟老师：嗯， 我们在跟学前的小朋友讨论过负数，他们会想到：“负数是地下的大坑，很深很深！” 你看，“没有最小的数”这个概念就建立起来了。
小元：哦，像个负数深谷啊，景色特别——天坑。
贵州天坑
“没有最大的数，也没有最小的数”这就是看问题的角度不同了。
迟老师：高矮、冷暖、穷富、轻重等生活经验都要会落实在不等式上，才算有了数学成果。
小元：是不是在 -100元 和 -98元之间摆上不等号？ -1℃ 和 -4℃中间摆不等号？海拔-45m 和 20m中间摆不等号？
迟老师：嗯，就是判断谁大？谁小？会建立不等式，就懂了负数的意义。
小元：那就是说“五十步笑百步”还是可以建立数学表达式的
-100步 < -50步
迟老师：(尬笑)
在有理数范围内有三类不等式：
一类： 正数 与 正数 5>2 7<13...
二类： 正数 与 负数 3 > -1 -3 < 2...
三类： 负数 与 负数 -1 > -4 -5 < -2...
小元：这么多情况，会不会乱？
迟老师：如果心里有根棍，就不会。
小元：(疑惑)
迟老师：就是竖起来的数轴。
小元：这是一种教具吗？
迟老师：具体的样子就是一个长条的木板，沿直线 有一串小孔，一个孔涂成红色。
小元：嗯。为什么要打孔？而不是画刻线？
迟老师：旁边有刻线，孔里插小棍，就表示一个具体数。具象，又直观。
小元：用这个可以做比大小，建立不等式了！
迟老师：如果有两块长板，各表示一个数，中间是不等号，就表示一个不等式：
-5 < -2
小元：在黑板上画不行吗？
迟老师：也可以，但是，不好玩了。
而且，将来讲恒等运算也很不方便。
小元：哦，我们这是进入第二个阶段：讲恒等运算了吗？
迟老师：嗯。
迟老师：以往的加减计算都用实物的增减：
2 + 3
但是，如果出现负数就不好使了。比如这样的题：
二丫头去超市买东西带了6元，去的时候把从家带来的纸箱子和饮料瓶卖了4元。她逛超市，出来时候购物车里有饮料3元，冰淇淋2元，薯片8元。正好碰见了大姑，又跟她要了4元钱。问：问二丫头结账时钱够不够？
这是一个典型的有出支出、有进账的过程，中间又出现了负数，用什么办法表现这个具体的数量变化过程呢？最好的办法是用“长条板”：
零的位置下移了
数轴要立起来，不能躺平。这是重要的形象支撑，这样，数量的涨落很清楚：二丫头兜里有的钱和她卖废品的钱，这样表示：
她从货架上往购物车放的东西这样表示：
碰见大姑後，得到的钱：
用脱式写出来就是：
6+4-3-2-8+4
=10-3-2-8+4
=7-2-8+4
=5-8+4
=-3+4 从这里出现了负数
=1 要会正负数计算才行
小元：二丫头很聪明啊！她要是不跟大姑要钱，真就不够了。
迟老师：当然，我们可以用简便运算的办法：
6+4-3-2-8+4
=10 -3 -10 +4
= -3 +4
=1
可见， 这里不可避免地要涉及负数运算，也得用那个长板子演示负数相加的道理。
小元：这个办法挺有趣。
用纵数轴演示正负数运算，就是进退运行。
是不是有一种【倒减法】的算法？
迟老师：嗯，这是在退位减法时用的。
小元：怎么“倒减”呢？
迟老师：顺减不够，就倒过来减啊！
个位：2 - 6 = 欠4
倒减得到的是负数嘛，叫做“欠几”，然后用一句珠算口诀，从十位退位：还。
小元：哦，这个办法是负数加减有效的运用，因为小孩子往往不理解“破十法”的减了又加 是怎么回事？
迟老师，这是负数深谷的哪个观景平台？
迟老师：这是第二个平台的风景。
小元：那第三个平台是什么样的风景呢？
迟老师：好，我们看看变号在什么情况下发生？
任何数学概念、运算都有现实的操作活动对应的。我们来看这个长板上的这个数：
这是+3
如果长板折跟头会怎么样？
小元：哦，成了 -3啊！ 怎么用数学表达呢？
迟老师：这就是 (+3)×(-1)，或 -(+3)
小元：哦！那 -5折了跟头，就变成 +5，是不是写成：
(-1)×(-5)
或 -(-5)
迟老师：对！这就是说“任何事情有可能走向它的反面”。正数走向反面就是 负数；负数走向反面就是 正数—— 负负得正。 这都是正负数的恒等运算法则。
小元：这是数学里的辩证法了。
有了这样的道理 我们就可以算这种题了：
620-3×98
=620 -3 ×(100-2)
=620 -3×100 -3×(-2)
=620 - 300 + 6
=326
生活中也有“负负得正”的道理吗？
迟老师：还有不少，大家可以打开思路找找，像：变废为宝、坏事变好事、好心办坏事、真理过头就是谬误、浪子回头、投诚、招降纳叛...
小元：老师，第三平台的风景还有别的吗？
迟老师：还有这样的恒等运算的风景，看这个点子操作——
○○○ ● ○ ○
○○○ ● → ○ ○
这就是： 6 - 2 = 4
问：如何移动这些点子後，还能保持相等呢？
这样移动：
┎———————↴
○○○ ● ○ ○ ○
○○○ ● = ○ ○ ○
算式表达为：6 -2 = 4 + 2
→ 6 = 6
这就是说，数字跨过等号，符号改变。叫做：
小元：这个不难。
不等式也一样：
○○○○ ○ > ○○ (差三)
4 +1 > 2
○○○○ > ○○ ●
4 > 2 -1
↓
○○○○ > ○ (差三)
4 > 1
我还有个问题，这里说“移项”，项是什么意思？
迟老师：项，是方程式中的重要概念。项的单位都一样，才能相加，项之间也才能移动 (符合“加法交换律”)
5人 + 6人 -3人
= 5人 -3人 +6人
项的前面如有“-”，那移项时候要跟随移动的。项的内部是乘除关系：
5人 + (3人/组×2组)
当然，也有“大项套小项”的：
620 -3 ×(100-2)
我们说的“先乘除，后加减”，就是先进行项内运算，再合并项：
5人 + (3人/组×2组)
= 5人 + 6人 ...
但是很多简便运算是要绕着这个规则走的，比如前面说的：
620-3×98
先算3×98，太麻烦了...
小元：移项变号挺简单的...
迟老师：嗯。还有一种变号的情况—— 各项同时变号。
迟老师：我们先这两个个关系式： 5 - 1 和 1 + 3，用长板表现就是：
5 - 1 = 1 + 3
他们是相等的 (绿线等高)，长板折跟头後，成了：
-5 +1 = -1 -3
-5 +1 和 -1 -3 ，他们还是相等滴 (绿线等高)，对吧。
小元：这是不是“等号两端同乘-1”？
迟老师：对的，就是这个意思。
我们再看：不等关系 同×(-1)。
5 - 1 和 4 + 3 比大小，用长板表现就是：
5 - 1 < 4 + 3
这是不等关系：左 < 右。
折跟头後，就成了：
左 < 右 变成了： 左 > 右，写出来是这样的：
5 - 1 和 4 + 3
4 < 7
回顾：两头 同×(-1)：
-(5 - 1) 和 -(4 + 3)
⇩
-5 +1 和 -4 -3
-4 和 -7
-4 > -7
小元：哇！ 有意思。
迟老师：这叫做——
各项正负变号，
大于小于改号。
小元：哇！是不是：
-2 > -6 → +2 < +6
5 -1 > -3 + 1 → -5 +1 < 3 -1
这个风景有点花眼啊！
迟老师：其实，就两句话：
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