不等式组的“整数解个数”问题—节点问题

【典例】已知关于x的不等式组

，恰好有3个整数解，求a的取值范围？

【解题步骤】

不等式组“整数解个数”的问题，按照以下几个步骤：

1、 分别求出不等式组内，每个不等式的解集。（含有参数a的不等式，用含有a的代数式来表示）

2、 画出数轴，根据“整数解的具体个数”，初步确定“含有参数a的不等式”的大概取值范围。（提醒：取值范围一定在两个相邻的整数之间。）

3、 通过假设，假设可以取等号，在结合数轴，判断到底可不可取等号。

4、 最终确定参数的取值范围。

【典例解析】

第一步：先解出两个不等式的解集 

。

第二步：画出数轴，根据“整数解的具体个数3个”，初步确定“含有参数a的不等式”的大概取值范围。

  只有3个整数解，那么根据数轴，很容易推出是“3、4、5”这3个整数解，所以可以初步判定a在5和6之间，即5＜a＜6。

第三步：假设可以取等号，结合数轴，判断到底可不可以取等号，

1） 假设a=5时，不等式解集x≤a，就变成了x≤5，结合下图数轴。

通过数轴可知，当a=5时，仍然有“3、4、5”这3个整数解，所以a可以等于5，得5≤a。

2） 假设a=6时，不等式的解集x≤a，就变成了x≤6，结合下图数轴。

通过数轴可知，当a=6时，出现了“3、4、5、6”这4个整数解，所以a不可以等于6，得a＜6。

第四步：最终确定参数a 的具体取值范围。

5≤a＜6