函数与方程的思想方法及其在解题中的应用

一、知识点

1、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数

，一元二次方程

二次函数的零点的存在性与一元二次方程的根的存在性：条件一致，均可由△=

进行判断；

‚二次函数的零点与一元二次方程的根的值：在存在的前提下，两者一致，即二次函数的零点等于它所对应的一元二次方程的根；

ƒ二次函数与对应的一元二次不等式的关系：

2、函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。主要有两种类型：实际应用题：基本过程是：审题——建模——解模——还原；‚函数综合题：解题中涉及到函数性质（单调性、周期性、奇偶性、图像等），因此可构造函数进行求解；

3、方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

4、函数与方程的互相转化，充分利用函数与方程之间的内在联系，达到解决问题的目的。

二、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

例1、若

，使得

的

的范围是（－1，3），当

时，求t的取值范围。

解析：由题意，一元二次不等式

的解集是（－1，3），从而－1，3是一元二次方程

的两根，由方程根与系数的关系可知：

。故可求得函数

的对称轴方程为

。因为

，当

时

为增函数，故

。

小结：本题无法求出

的值，因此不等式

是一个抽象不等式，欲解此不等式，一般情况下只能通过函数单调性去掉抽象函数符号

，从而可解。

 

三、函数思想在解题中的应用

例2、若不等式

，对任意

恒成立，求

的取值范围。

解法1：由

。



‚

ƒ

_{综上所述：}

_。

_{解法2：由}

，设

，这是一个关于m的一次函数，在[－1，1]上恒大于零，故

.

小结：比较思路1和思路2可以看出，思路1以x为主元，不等式是关于x的一元二次不等式，解答过程比较繁琐；思路2以m为主元，不等式是关于m的一元一次不等式，解答过程十分简洁。这种解题方法在涉及两个（或以上）变元的问题中经常采用，有的参考书称之为“反客为主法”。

 

例3、判断方程lgx＋x＝3的解所在的区间为___      _。

A. (0，1) 

B.  (1，2) 

C.  (2，3) 

D.  (3，+∞)

解析：设

，有方程解即为该函数的零点。由于

，故在（2，3）之间至少存在一个函数的零点，故选C。

四、方程思想在解题中的应用

例4、若实数

满足：

，则

               .

解析：据条件，

是关于

的方程

的两个根，即

的两个根，所以

；从而可解得

。

例5、求圆

与圆

的交点弦所在直线的方程。

解析：设交点分别为

，则由P点为两圆公共点得：

；同理，因为M点亦为两圆公共点，故亦有：

，从而可知，P、M两点坐标均满足方程

，换言之，该直线过P、M两点，因此该直线即为所求P、M所在直线方程。

 

五、函数与方程思想在应用题中的应用

例6、某种商品原来定价每件p元，每月能卖出n件，若定价上涨x成（这里的x成即为

，每月卖出数量将减少y成。设

，

，用

来表示当售货金额最大时的x的值。

解析：设售货金额为

，由题意知：

，这是一个关于x的二次函数，开口向下，故当

时，售货金额最大。

小结：这是一个函数应用题，解应用题一般要以问题为中心进行求解。本题抓住问题中的“售货金额”，列出“售货金额=销量×售价”这样一个等式，然后代入变量即可得到一个函数式，把实际问题转化为二次函数的最值问题。