零点问题讨论-每日题目（高中数学篇）

Hello！everyone！

这里是每天完善，我是童老师！

今天讲一下高中零点问题，这个问题经常被忽略，但是真的那么容易吗？

零点的定义是这样的：一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)（x∈R）的零点（the zero of the function）。

函数的零点就是使函数值为0的自变量的值，函数的零点不是一个点，而是一个实数。

正弦函数图像

例如上图，这是一个正弦函数的图像，A、B、C并不是零点，而是x=0、x=π、x=2π才是零点。

那么知道零点的定义，接下来我们需要了解产生零点的条件。根据定义来就是在已知区间a，b间（开、闭区间都可以），函数图像必须连续，同时f(a)·f(b)≤0。

弄清楚以上的内容非常容易，我们先来看一道直接套用定义的简单例题。

函数f(x)=2^x-2/x-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是?

解：根据零点定义得

f(1)·f(2)<>

∴(2-2-a)(4-2/2-a)<>

∴a(a-3)<>

∴a∈(0,3)

上面的例题非常简单，是一道零点运用的基础题，我们接下来来看看一道复合函数的零点问题。

已知函数f(x)=x²-1，则函数f(x²-1)的零点是？

解：f(x²-1)=(x²-1)²-1

                  =x⁴-x²

                  =x²(x²-1)

存在零点，即：x²(x²-1)=0

∴x=±1或者0

此题实际上很简单，我们只要知道符合函数的意义，以及零点的定义就可以列出式子，然后接下来就是解方程了，解这个方程在初中生看来也是轻而易举。

那么来一点难度。

设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)的零点所在的区间为？

解：我们先令f(x)=0

于是，得到lnx+x-2=0

∴lnx=-x+2

我们可以把等号左右两边看成两个函数

即：g(x)=lnx，h(x)=-x+2

此时，问题转化为g(x)和h(x)的交点横坐标就是f(x)的根

因此，我们现在只需找到g(x)和h(x)的交点所在位置即可

我们知道g(x)和h(x)分别是对数函数和一次函数

画图

我们发现，它们的交点在A处，A的横坐标在[1,2]之间

∴f(x)=0的根在[1,2]之间

∴f(x)的零点在[1,2]之间

上面这个题，告诉我们当处理复杂函数时，我们需要把整体函数拆项成若干个函数，然后利用零点定义，找这些函数的公共值，也就是它们的公共根。这些根就是函数的零点。

以上三个例子，想必大家已经可以利用零点定义解决常规问题了，那么接下来我们看看如何解决零点个数问题。

已知f(x)=x²+4x-5，求零点个数？

因为这是一个二次函数

所以我们只需令f(x)=0

然后判断△

解：令f(x)=0

∴b²-4ac=36>0

∴有两个零点

这是一个非常简单的小例题，让大家理解如何求得零点。但是现实中我们是不可能遇到这种题的，所以接下来我准备了第二道题。

判断函数f(x)=lnx-x+2是否存在零点，如果存在零点，有几个？

如果我们直接令f(x)=0，

那么lnx-x+2=0也无法判断

因此我们需要进行上面讲到的函数拆分法

解：令f(x)=0

∴lnx-x+2=0

∴lnx=x-2

令g(x)=lnx，h(x)=x-2

如果g(x)与h(x)存在交点

那么，交点的横坐标就是零点

那么，有几个交点就有几个零点

通过图像知

可以看到上图有两个交点A和B

∴不仅存在零点，还有两个零点

今天讲了零点的定义，讲了几道常见的题型，但远远还没有完，难题大家自己去找。接下来后面的文章会讲到极值点问题讨论，会深入的探讨零点问题，当然这个问题少不了求导，所以，我会专门先讲求导。

今天就到这里，希望对大家用！