数学建模的认知机制及其教学策略研究

李明振

【摘要】： 为适应基础教育数学课程改革的需要，有效提升学生的数学应用能力和综合素养，许多高校数学与应用数学(师范)专业加强了数学建模教学。然而，教学实践表明，数学建模教学中存在许多问题，教学效果不尽人意。究其主要原因之一在于，缺乏对学生数学建模的学习与认知规律的研究。 数学建模的认知机制及其教学策略是尚未进行深入研究的问题，开展对此问题的研究，有助于丰富数学学习心理学理论，发展数学问题解决理论，深化数学教学理论，为解决数学与应用数学(师范)专业数学建模教学中存在的问题从而提升教学效果提供理论基础和实践指导，具有重要的理论意义和实践价值。

本文以五所高校数学与应用数学(师范)专业518名学生为被试，运用口语报告分析、深度访谈、问卷测试、理论分析等研究方法，对被试数学建模的一般认知过程、不同数学建模水平被试数学建模认知过程的差异、被试数学建模成绩的影响因素及其路径与程度以及数学与应用数学(师范)专业数学建模的教学策略等问题进行了研究，获得以下基本结论：

(1)初步构建了被试数学建模的一般认知过程模式。该模式体现了被试数学建模行为过程的具体阶段及其动态联系，阐明了被试实现数学建模行为过程各具体阶段的认知操作及其方式。

(2)专家被试和新手被试在数学建模的问题表征、数学建模策略运用、数学建模思路、结果及效率等方面存在显著差异。 在数学建模的问题表征方面：专家被试更多地运用了机理表征，新手被试则较少运用机理表征；专家被试倾向于实施多元表征，新手被试倾向于实施单一表征；专家被试倾向于运用循环表征策略，新手被试倾向于运用单向表征策略。 在数学建模策略运用方面：专家被试倾向于采用平衡性假设策略，新手被试倾向于采用精确性假设策略；专家被试倾向于采取样例类比的建模策略，新手被试倾向于采取即时生成的建模策略；专家被试倾向于运用即时监控策略，新手被试倾向于运用回顾监控策略；专家被试倾向于采用假设调整策略和建模方法调整策略，新手被试倾向于采用模型求解调整策略。 在数学建模思路、结果及效率方面：专家被试思路转换的次数显著多于新手被试，新手被试的思路定势显著多于专家被试，新手被试的最终思路错误总次数显著多于专家被试；专家被试获得的数学建模正确(合理)结果的题次数明显多于新手被试，新手被试获得错误(不合理)结果的题次数明显多于专家组被试；专家被试的数学建模口语报告比较简略，语言表达的逻辑性较强，对建模问题的分析深入而透彻，建模思路快捷而灵活，对数学建模方法的使用表现为启发搜索。新手被试的数学建模口语报告比较繁杂，语言表达缺乏内在逻辑联系，对建模问题的分析浅表而笼统，建模思路单一而定势，对数学建模方法的使用表现为盲目搜索；专家被试数学建模速度较快，平均题次所用时间明显少于新手被试平均题次所用时间。

(3)成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构、数学建模自我监控能力均与被试的数学建模成绩存在显著正相关；数理认知结构、数学建模自我监控能力对被试的数学建模成绩存在显著的回归效应，直接影响被试的数学建模成绩，两因素共解释被试数学建模成绩55.8％的变异；成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构对数学建模自我监控能力存在显著的回归效应，直接影响被试的数学建模自我监控能力，四因素共解释数学建模自我监控能力70.1％的变异；成就动机、创造力倾向、认知方式对数理认知结构有显著的回归效应，直接影响被试的数理认知结构，三因素共解释数理认知结构40.9％的变异，通过影响数理认知结构和数学建模自我监控能力而间接影响其数学建模成绩。

(4)数学与应用数学(师范)专业数学建模教学宜采取如下策略：样例教学、变式练习、开放性训练相结合；一般思维策略、数学建模策略、数学建模方法相结合；独立探究、互动交流、引导反思相结合；评价指标多维、评价方式多样、评价主体多元相结合。 本研究的创新之处在于：初步构建了数学建模的一般认知过程模式；揭示了不同数学建模水平学生在数学建模认知过程中的差异；建立了数学建模影响因素的路径分析模型；尝试提出了数学与应用数学(师范)专业数学建模的教学策略。

【关键词】：数学建模认知机制教学策略

【学位授予单位】：西南大学

【学位级别】：博士

【学位授予年份】：2007

【目录】： 摘要6-8

ABSTRACT8-10

1. 导论10-29

1.1 基本概念10-15

1.1.1 数学建模10-12

1.1.2 认知机制12-14

1.1.3 教学策略14-15

1.2 问题提出15-23

1.2.1 研究缘起15-19

1.2.2 研究问题19-20

1.2.3 研究意义20-23

1.3 研究方法23-27

1.3.1 涵义24

1.3.2 渊源24-25

1.3.3 假设25-26

1.3.4 程序26-27

1.4 研究设计27-29

2. 相关研究29-60

2.1 问题解决过程的模式研究29-35

2.1.1 一般问题解决过程的模式29-34

2.1.2 数学问题解决过程的模式34-35

2.2 数学问题解决的认知模式研究35-41

2.3 数学应用问题解决的认知模式研究41-43

2.4 问题解决的专家─新手差异研究43-45

2.5 问题解决的影响因素研究45-52

2.5.1 一般问题解决的影响因素45-48

2.5.2 数学问题解决的影响因素48-50

2.5.3 数学应用问题解决的影响因素50-52

2.6 数学应用问题解决的认知研究简评52-53

2.7 数学建模的认知研究53-56

2.8 数学建模的教学研究56-60

3. 数学建模的一般认知过程研究60-81

3.1 目的60

3.2 方法60-61

3.2.1 被试60

3.2.2 材料60

3.2.3 程序60-61

3.3 结果61-70

3.3.1 数学建模的一般过程61-66

3.3.2 数学建模的一般认知过程66-70

3.4 讨论70-80

3.4.1 认知图式与数学建模70-72

3.4.2 数学建模的模式识别72-73

3.4.3 数学建模的问题表征73-76

3.4.4 数学建模的策略76-77

3.4.5 数学建模的自我监控77-79

3.4.6 数学建模认知过程中的顿悟79-80

3.5 结论80-81

4. 数学建模认知过程的差异研究81-105

4.1 目的81

4.2 方法81

4.3 结果81-94

4.3.1 专家被试和新手被试在数学建模问题表征方面的差异81-85

4.3.2 专家被试和新手被试在数学建模策略方面的差异85-93

4.3.3 专家被试和新手被试在数学建模思路、结果和效率方面的差异93-94

4.4 讨论94-103

4.4.1 关于数学建模问题表征的差异94-99

4.4.2 关于数学建模策略的差异99-102

4.4.3 关于数学建模思路与结果的差异102

4.4.4 关于数学建模自我监控的差异102-103

4.5 结论103-105

5. 数学建模的影响因素研究105-118

5.1 目的105-106

5.2 方法106-107

5.2.1 被试106

5.2.2 工具106-107

5.2.3 程序107

5.3 结果107-110

5.3.1 成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构、数学建模自我监控能力、数学建模成绩的相关分析107-108

5.3.2 成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构、数学建模自我监控能力、数学建模成绩的复回归分析108

5.3.3 成就动机、创造力倾向、认知方式、数理认知结构、数学建模自我监控能力与数学建模成绩之间的路径模型108-110

5.4 讨论110-117

5.4.1 成就动机对数理认知结构、数学建模自我监控能力和数学建模成绩的影响110

5.4.2 创造力倾向对数理认知结构、数学建模自我监控能力和数学建模成绩的影响110-111

5.4.3 认知方式对数理认知结构、数学建模自我监控能力和数学建模成绩的影响111-114

5.4.4 数理认知结构对数学建模自我监控能力和数学建模成绩的影响114-116

5.4.5 数学建模自我监控能力对数学建模成绩的影响116-117

5.5 结论117-118

6. 数学建模教学策略研究118-135

6.1 数学建模教学策略研究的意义118

6.2 制定数学建模教学策略的依据118-120

6.2.1 依据数学与应用数学(师范)专业数学建模的课程性质与教学目标118-119

6.2.2 依据数学与应用数学(师范)专业学生数学建模的认知规律119-120

6.2.3 基于数学与应用数学(师范)专业数学建模课程的教学实践120

6.2.4 基于问题解决教学理论120

6.3 数学建模教学策略120-135

6.3.1 样例教学、变式练习、开放性训练相结合121-123

6.3.2 一般思维策略、数学建模策略、数学建模方法相结合123-129

6.3.3 独立探究、互动交流、引导反思相结合129-133

6.3.4 评价指标多维、评价方式多样、评价主体多元相结合133-135

结语135-138

参考文献138-148

附录1148-149

附录2149-151

附录3151-154

附录4154-156

附录5156-158

后记158-160

攻读博士学位期间所发表的文章160