二次函数对称轴的近似求法
文/明甫
教学相长
毕业年级,不得不承认,学生越来越厉害了,因为有些题目的解法比老师技高一筹。我在班里就曾经公开承认学生的智商发展是迅速的,好多的题目会比老师能更快的找到解题方法。
另外,作为大循环教学,四年一轮,在毕业年级积累的经验,三年的低年级教学就给冲淡了不少,好多新题不断出现,每到毕业年级,就要重新预热,重拾解题的感觉,这远没有一直在毕业年级教学更有经验。
但是不断的接受来自学生的问题,发现自己也被动的增强了解题能力。最近学生问的几个题目,都是认真思考,花费大量的时间才搞定,因为自己不愿意动不动就搜答案,那样没有自己的想法,反而是自己想到的方法更好。
在处理一个二次函数增减性问题时,发现了另一种求对称轴的方法,那就是近似求法,这是董芷茹同学发现的,对于解决此类问题提供了思路。
先说一下我的思路,当我看到这个题目时,就知道一定要先求出对称轴,才能比较D、E、F纵坐标的大小。先观察了A、B、C三点,发现纵坐标都有n,就想到一种求对称轴的方法,如:A(1,n),B(3,n),AB与x轴平行,这样的话,对称轴就是直线x=½(1+3)=2,但这三个点纵坐标却不是一样的,到此为止了。就想到了另一种方法,能不能求出a^2与b,,然后再求对称轴方程。那就要用到三元一次方程组,实践证明,这是可行的,因为n,n-1,n+1,的特殊关系,在求a^2与b时刚好消去了n,所以可以直接求出对称轴是x=59/26,然后再比较D、E、F三点的高低,就可以得到结果。这是常规的方法,通过计算至少需要3分钟以上,所以当我们看到这个题目时,就应该揣测出题人的意图,应该有更好的方法来解决才对。果不其然,在讲这个题目时,董芷茹同学提出了她的解法,她把BC两点所连的线段中点坐标求出来,虽然中点不在抛物线上,但不影响求近似对称轴,因为中点坐标与A点纵坐标相同,再与A点求出两点间的中点横坐标,这个坐标就可以近似的看作对称轴,这个值与解方程求出的方法只相差0.02,然后利用对称轴可解题。当这个同学说出这种方法之后,我就感觉到她的解法跟命题人的想法应该是接近的或者相同的。这种思路很独特,但也很正确。厉害!
后来,我找到了这个题目的解析:
看来这个解析就是体现了求近似对称轴的思想。或者求得抛物线对称轴所处的范围,然后根据二次函数的性质判断可得.
看来,每一个中考题背后,都有命题者的良苦用心,只是我们有时体会不到,就会绕远路或者不得法。
我又问了董芷茹同学为什么会想到这个方法,她说是因为观察到ABC三个点纵坐标的关系,再由以前做的题目的经验想到的。这就为解决此类问题提供了思路。
在后续学生的展示中,胡研昊同学提出了新思路,因为在这个题目中,对n没有做限制,那就是说,n的取值不会影响最后的结果,既然这样,那n可以取任意数,所以可以让n等于0,或者1,或者其它的整数,这样ABC三个点就知道了,自然就能求出函数表达式,也就能求出对称轴,再进行判断也是可以的。
最后总结这个中考题的方法有三种:第一种属对称轴的近似求法,更快;第二种是特值法;第三种是三元一次方程组。这三种方法要择优选择,要会把方法优化,提高解题效率。
看来同学们有自己的解题方法,让学生表达出来,他们的思维更具创新性。同时,在解题时,也可以猜测命题人的意图,是考察什么知识点,大致应该用什么方法等,可能会有比较快的解法。
最近一段时间,个别学生的思维能力与解题能力都有所提升,会想到一些老师想不到的方法,通过与这些学生交流,我也能有所收获。
弟子不必不如师,师不必贤于弟子。在实际教学中,教学相长是最佳状态。
明甫其实
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