四元数-第1讲

What-四元数

---

定义1：

若存在复数A=a+bi和C=c+di，构建Q=A+Cj并定义k=ij，因此生成

四元数空间H:

                    Q=a+bi+cj+dk

上式a,b,c,d为R；i,j,k为虚数单位向量；

ii=jj=kk=ijk=-1，ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j;右手法则

注：通过Q发现，实数、虚数、复数均属于四元数；

定义2：

四元数定义为标量与向量的和,第一部分是实数或标量，第二部分(加粗)

是虚数或向量,

  

四元数Q视作四维向量q，可表示实数和纯虚数；               

               

---

2.How-四元数basis

基本运算法则:  

 +、

、 1、 *、 ||.||、 -1(逆)、 normalized

2.1加法(+)：

对应位置相加，满足加法交换律和结合律；

           

 

             p+q=q+p     p+(q+r)=(p+q)+r   

2.2乘法(

)：

不满足交换律(因叉乘导致，叉乘为零可交换)，满足结合律；

              

 并满足对加法的分配律：

四元数乘法可转变为矩阵乘积：

                        

注：

表示向量生成斜对称矩阵；

（向量叉乘）

 

2.3单元四元数([1,0,0,0]) ：

满足

2.4共轭(*)：

四元数共轭定义标量部分不变，向量（虚数部分）取相反数；

四元数与其共轭四元数相乘等于各部分平方和；

2.5范数(||.||):

定义如下，

2.6逆(-1):

四元数乘以四元数的逆等于单元四元数[1,0,0,0];

结合四元数共轭可知：

                 

2.7单位四元数(normalized)：

范数等于1的四元数，结合上式可得，

单位四元数可作为方向/旋转操作符，这意味旋转逆操作可使用四元数共轭。