1.置换和转置
对于n阶矩阵,置换矩阵的数量为n!;
置换矩阵P的性质:
在没有行交换的消元过程中:
A=LU,
若存在行交换的消元过程中:P矩阵将主元交换到合理位置
对于任意可逆矩阵A,均存在PA=LU的形式;
转置矩阵:
对称矩阵:symmetric matrix
如何构造对称矩阵?对于任意矩阵R,
一定是对称矩阵;2.向量空间和子空间:
向量所必具备的两种运算:向量间加法,向量数乘(标量);
向量空间:空间表示很多向量,但并不是任意向量的组合都是向量空间;
空间必须满足一定的规则,必须能进行加法和数乘运算(线性组合);
例如,
在 2维xy平面中,即采用实数,向量由两个实数表示,二维实向量;
两两相加、数乘,向量仍在中
;所有向量空间必须包含0向量(满足数乘0);
=所有二维实向量组成的向量空间,xy平面;=all column vectors with n real components;
向量空间性质:
1.对数乘封闭;
2.对加法封闭;
即对向量的线性组合是封闭的;
举例,非向量空间例子,
二维xy平面中第一象限是否是空间?
1.相加仍在第一象限
2.数乘负数则不再第一象限;
第一象限不是空间,对数乘不是封闭的;
取空间某部分是否仍组成空间,满足对向量的线性组合封闭?
如果满足,则是子空间;
举例空间
,它的向量子空间有哪些?1.本身;
2.穿过原点(0,0)零向量的直线;
2.零向量(0,0)本身;
共两个向量子空间;
注:所有向量空间必须包含0向量(满足数乘0);
因此不经过原点的直线不是子空间;
举例空间
,它的向量子空间有哪些?1.本身;
2.经过原点(0,0,0)零向量的平面;
2.穿过原点(0,0,0)零向量的直线;
3.零向量(0,0,0)本身;
进一步推广,对于空间
存在n+1种子空间如何从矩阵中构造子空间???
方法1:通过列向量构造,形成重要的子空间,矩阵记作A,列向量属于
;矩阵的列空间:记作C(A),所有列向量的线性组合构成子空间;
根据有四种子空间,该列空间属于经过原点的平面;
如果A中两个列向量共线,则列空间属于经过原点的直线;
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