特征值和特征向量是针对于方阵而言的,它们是一群独特的数字,本节主要讨论特征值和特征向量,下一节将具体介绍如何运用以及为什么要求解它们,下面进入本讲内容。
其中,λ是一系数,它就是特征值(特征值可以是零,那就转化成Ax=0,显然特征向量就是矩阵A的零空间,即如果矩阵A是奇异的,那么特征值是0)。现在,特征值和特征向量都是未知量,需要一个巧妙的方法来求解它们,在引入行列式和公式前,我们先看一些已知矩阵的例子:
假如给定平面,称为投影矩阵P,可以视作前面方程的A,那么投影矩阵P的特征向量和特征值有哪些?
对于一个投影矩阵,给定向量b,那么矩阵作用在上面,投影得到Pb,那么b是特征向量吗?显然不是,因为投影后与原向量方向不同。显然那些正好落在平面上的向量是特征向量,即任意平面上的向量投影之后任然在平面内,即Px=x,特征值显然λ=1。除此之外,垂直于平面的向量,它也是平面的特征向量,此时投影等于0,即Px=0=0x,特征值为0。
该矩阵是交换两行,所以特征向量可以是[1 1],此时特征值是1;特征向量也可以是[1 -1],特征值是-1。(注:nxn矩阵共有n个特征值且特征值之和等于对角线元素和)。
现在开始解决Ax=λx,如何求解特征值和特征向量。将等式变形转化为,
其中λ和x均是未知,但该等式说明,对于不为零向量的x,若该等式成立,则A-λI矩阵应满足行列式值为0,是奇异矩阵,否则只存在零特征向量和零特征值,
此时,转化成只有λ的方程,称为特征方程或者特征值方程。所以,首先解出n个特征值(可能存在重复的情况),在根据特征值代入原方程,根据消元法求得特征向量。
每个方向特征向量只选择一个即可。这个例子似乎和前面置换矩阵有所类似,本例相当于前面置换矩阵增加3个单位阵后,特征值增加3但特征向量仍然相同,
如果已知矩阵A的特征值和特征向量,以及B的特征值,一般A+B或AB的特征值不满足线性关系或者乘积关系,因为此时特征向量一般不同,但B是单位矩阵的倍数,显然就没问题。
显然两个特征值分别是i和-i,但它们不是实数。事实上,如果矩阵是对阵的,就不会有复数特征值,若我们规定矩阵是对阵的或者接近对称的,那么特征值就是实数,如果越不对称,比如反对称矩阵,其特征值就是纯虚数,这中间介于对称和反对称之间的矩阵,部分对称或部分反对称,可能会有实特征值和复数特征值。
下一讲将继续特征向量和特征值的应用等。
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