本节是针对3D投影几何及变换的总结，具体证明论述等请参考过往文章；
1 几何元素1.1 点非齐次坐标
X=(x,y,z)T
齐次坐标X=(x,y,z,1)T
转换关系(x,y,z,n)T <=> (x/n,y/n,z/n)T
特殊点
无穷远点：当n=0时，点为无穷远点；
变换关系
射影变换H：4×4非奇异线性矩阵；
自由度是15；
点X和X'：X'=HX;
1.2 平面方程形式
π1X+π2Y+π3Z+π4=0
齐次形式
π=(π1，π2，π3，π4)T
自由度
3
特殊平面
无穷远平面标准位置π∞=(0,0,0,1)T；
它包含了所有方向(X1,X2,X3,0)T；二维中，确定无穷远直线可以测量平面仿射性质，三维中，确定无穷远平面可以测量平面仿射性质；
结论3.7.当射影变换H是仿射变换时，无穷远平面在H作用下保持不变。
相关曲线
绝对二次曲线，Ω∞是无穷远平面上π∞的点型二次曲线，
无穷远平面(也即是说X4=0)，定义式可写成，
Ω∞是对应于矩阵C=I的二次曲线；它是无穷远平面上由纯虚数点构成的二次曲线。二次曲线Ω∞的几何表示需要5个额外的自由度，自由度在仿射坐标系中确认度量属性是必要的。
结论3.9.当且仅当射影变换H是相似变换时，绝对二次曲线Ω∞在H作用下保持不动。
1.Ω∞仅是在一般相似变换下保持不变的集合；2.所有圆形都Ω∞和相交于两点。3.所有球形都和π∞相交于Ω∞度量性质.如果三维射影空间中Ω∞得到辨认，那么度量性质，如角度和相对长度等，都可测量。现有两直线，方向分别是d1和d2(三维向量)。两直线在欧式世界坐标系下的角度是，
也可写为，
d1和d2是直线与包含Ω∞的无穷远平面π∞的交点，Ω∞是绝对二次曲线在该平面内的矩阵表达形式。
点和平面
点在平面上：πTX=0
三点定平面
1.三点Xi在平面π上，三点相互独立，矩阵秩是3
2.矩阵M=[X,X1,X2,X3]由一般点X和三个定义平面π的点Xi组成，当X在平面π上时，行列式值detM=0，因点X可以用Xi的线性组合表示。按X列展开行列式，平面系数是，
π=(D234,-D134,D124,-D123)T (3.4)
这就是(3.3)的解向量(零空间)；
3.公式中为非齐次坐标：
前三个分量为平面法向量；
三平面定点
三平面πi交点X是3×4矩阵的零空间，矩阵由平面系数为行向量构成的：
点X的解类似于（3.4）;
平面变换在点变换作用下X'=HX，平面变换是，π'=H-Tπ (3.6)
1.3 直线自由度
4
零空间和生成子空间表示
A、B是两非重合的空间点，连接两点的直线通过2×4矩阵W的行空间生成，矩阵W是由AT、BT为行向量：
WT生成的空间是在直线上的点集λA+μB。W的2维零向量生成的空间是许多以该直线为轴的平面。*******************************************
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直线的对偶表达是两平面P和Q相交的部分。直线可以表示为2×4矩阵W*行向量生成的空间，矩阵W*由PT和QT为行组成：
具有如下性质：W*T生成的空间是许多以直线为轴的平面集合λ’P+μ'Q；W*的二维零空间生成的空间是许多在直线上的点；两种表示方法的关系是W*WT=WW*T=02×2
Plucker矩阵表示
直线表示为4×4反对称齐次矩阵，连接两点A和B的直线用矩阵L表示：元素lij=AiBj-BiAj：
写作向量形式，L=ABT-BAT (3.8)关于L的几个性质：L秩为2。它的二维零空间由以该直线为轴的平面束生成
这种表示法要求直线有四自由度。矩阵L独立于所用的具体点A和B；在点的变换作用下X'=HX，矩阵变换为L'=HLHT，也就是说valency-2 tensor。*******************************************
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直线的Plucker对偶式可通过两平面P和Q的相交部分得到，
（3.9）L*具有类似L的性质。在点变换X'=HX作用下，矩阵L*变换为L*'=H-TLH-1
连接和相交性质采用Plucker矩阵这种形式表示：
1.连接点X和直线L确定的平面是，π=L*X；此外，当且仅当点X在直线L上时，L*X=0。
2.平面π和直线L确定的交点X是，X=Lπ；此外，当且仅当直线L在平面π上时，Lπ=0。
Plucker直线坐标表示
Plucker直线坐标是4×4反对称Plucker矩阵(3.8)的六个非零元素，
ζ={l12,l13,l14,l23,l42,l34} (3.11)
是齐次六维向量，是P5空间元素，满足detL=0，即
l12l34+l13l42+l14l23=0 （3.12）
结论3.5.当且仅当(ζ|ζ')=0时，两直线ζ和ζ'共面；
该结论的充要条件是，det[A,B,A',B']=0。这表明，行列式展开为，det[A,B,A',B']=l12l'34+l'12l34+l13l'42+l'13l42+l14l'23+l'14l23=(ζ|ζ') (3.13)
1.4 二次曲面方程定义
二次曲面是P3空间的曲面：
XTQX=0 (3.15）
Q是4×4对称矩阵；
自由度
9
特殊曲面
绝对二次曲线Ω∞的对偶是三维空间内退化的对偶二次曲面，称为绝对对偶二次曲面，记作Q*∞；Q*∞是由正切Ω∞的平面组成，所以Ω∞是Q*∞的边缘。
从代数角度看，Q*∞是由秩为3的4×4齐次矩阵表示，它在三维度量空间的标准形式是，
结论3.10.当且仅当射影变换H是相似变换时，绝对对偶二次曲面在H作用下保持不动。
结论3.11.无穷远平面π∞是Q*∞的零向量。
结论3.12.两平面π1和π2间夹角是，
极性关系
平面π=QX，是点X关于Q的极平面，在这种情况下，Q是非奇异矩阵，X是二次曲面外的点，极平面由经过点X且与Q正切的射线锥体与二次曲面的交点定义。如果点X在Q上，那么QX是在点X与Q正切的平面；
变换关系
在点变换作用下X'=HX，二次(点)曲面变换为，
Q'=H-TQH-1 (3.16)
对偶
二次曲面的对偶也是二次曲面。对偶二次曲面是关于平面上的方程：二次(点)曲面Q的正切平面π满足πTQ*π=0，Q*是Q的伴随矩阵，如果Q可逆，Q*是Q-1。在点变换作用下X'=HX，对偶二次曲面变换为，
Q*'=HQ*HT (3.17)
分类
Q=UTDU，U是实正交矩阵，D是实对角阵，通过对矩阵U的行合理缩放，Q=HTDH，D的对角元素只等于1、0、-1，元素出现在矩阵U对角线的最后，+1出现在最靠前：对角矩阵D的特征，记作σ(D)，定义为+1的数量减-1的数量；
二次曲面的射影类型仅取决于它的秩和特征：
1.5 三次绕线
参数方程
三次绕线可以视作二次曲线的三维类比，
A是4×4非奇异矩阵。
自由度
12
性质
三次绕线与一般平面有三个不同交点；
经过一般位置的六个点可唯一确定三次绕线；
所有非退化的三次绕线射影后等价；
1.6 变换层次这个表格仅列出三维空间变换比二维空间变换多出的性质-三维空间也具有二维空间变换的不变量。
转轴分解任意平移和旋转的运动都等价于绕转轴旋转和沿转轴平移。这个转轴平行于旋转轴。
