多视图几何7-单视图几何-对平面/直线/曲线的作用

第5讲介绍了相机对点的作用下投影矩阵模型。第七讲开始介绍在透视投影作用下其他3D几何对象与其图像的关联。这些几何对象包括平面，直线，二次曲线，二次曲面等，我们将推导它们的前向和后向投影特性。

我们先剖析相机，逐渐简化为相机中心点和图像平面。并构建起两大特性：相同相机中心下得到的图像通过平面射影变换产生关联，无穷远平面上几何对象的图像并不依赖于相机位置，仅依赖于相机旋转和内参K。

无穷远平面上几何对象的图像尤其重要。我们已经看到，无穷远平面上的点的图像是消失的点，其上直线是消失的直线；它们的图像也依赖于相机旋转与内参K。但是，绝对二次曲线的图像w仅依赖于K，不受相机旋转影响。二次曲线w与相机K产生密切关联，w=(KK^T)^-1。因而，w定义了从图像点向后投影产生的射线间的角度。

这些特性使得根据消失点，无需相机位置，即可计算相机相对旋转。进一步讲，因为K根据图像点计算射线间角度，反之K可根据射线间已知角度计算。特别是，根据相对场景正交方向的消失点确定K，这表明，根据场景特征，无需知道世界坐标，可标定相机。

第七讲介绍的最后一个几何对象是，标定二次曲线，它使K的几何可视化成为可能。

7.1 射影相机对平面直线二次曲线的作用

在这一部分，相机射影矩阵3×4形式和秩的大小是决定矩阵对几何对象作用效果的重要因素。而矩阵元素的性质和关系则相对没那么重要。

7.1.1 对平面的作用

点的成像方程是x=PX，是从世界坐标系的点到图像坐标系的点的映射。我们可以自如选择世界坐标系。假设我们选择XY平面对应于场景中的平面π，满足场景平面上的点Z向坐标是0，如图所示(假设相机中心不在场景平面)。那么如果相机矩阵P的列定义为p_i，那么平面π上点的图像是，

所以平面上π的点x_π与其图像x的映射满足一般平面单应(平面到平面的射影变换)：x=Hx_π，其中H是一个秩为3的3×3矩阵，这表明：

在透视成像作用下，3D场景平面与一张图像平面之间最一般的变换是平面射影变换。

如果相机是仿射相机，那么相类似推导表明，场景平面与图像平面通过仿射变换相关联。

例7.1 对于标定相机，P=K[R | t]，世界平面Z=0与图像平面间的单应是(7.1)

其中r_i是R的列向量。

7.1.2 对直线的作用

前向投影.三维空间直线投影到图像平面仍是直线，从几何角度很容易理解--直线和相机中心定义一个平面，图像是这个平面与图像平面的交线--从代数角度证明，如果A和B是空间两个点，a和b是她们在P作用下的图像，那么空间中A和B连线上的点X(μ)=A+μB将投影为点，x(μ)=P(A+μB)=PA+μPB=a+μb，它在a和b的连线上。

直线的后向投影.空间点集映射到图像平面中是直线，则该点集是由相机中心和图像直线定义的空间平面，如上图所示。

结论7.2.通过相机矩阵P实现空间点集到直线l的映射，则该点集是平面P^Tl。

证明.当且仅当x^Tl=0时，点x在直线l上。空间点X映射点为PX，当且仅当X^TP^Tl=0时，映射点在直线上。因此，如果用P^Tl表示一个平面，那么当且仅当X映射的点在直线l上时，X在该平面上。换言之，P^Tl是直线l的向后投影。

从几何角度讲，存在过相机中心的两参数簇，投影矩阵P^iT的三行是两参数簇的基。平面P^Tl是基的线性组合，该基是对应于包含相机中心和直线l的两参数簇的。例如，如果l=(0,1,0)^T，那么平面是P²，是图像x轴的后向投影。

Plucker直线表达.(非必须，待后续是情况补充)

7.1.3 对二次曲线的作用

二次曲线的后向投影.二次曲线C向后投影是锥面。锥面是退化的二次曲面，也就是说表示二次曲面的4×4矩阵不具有满秩。在这种情况下，锥面的顶点是相机中心，是二次曲面矩阵的零向量。

结论7.6 在相机P作用下，二次曲线C向后投影的锥面是，Q_CO=P^TCP

证明.当且仅当x^TCx=0时，点x在C上。空间点X映射点为PX，当且仅当X^TP^TCPX=0时，映射点在二次曲线上。因此，如果用Q_CO=P^TCP表示二次曲面，那么当且仅当X映射点在二次曲线C上时，X在这个二次曲面上。换言之，Q_CO是二次曲线C的后向投影。

注：因为Q_COC=P^TC(PC)=0，所以相机中心C是退化二次曲面的顶点。

例7.7.假设P=K[I | 0]；那么二次曲线C向后投影的锥面是，

矩阵Q_CO秩为3，它的零向量是相机中心C=(0,0,0,1)^T。