多视图几何7-单视图几何-相机标定与绝对二次曲线的图像

到目前为止，我们已经讨论过不同几何对象(点、直线、二次曲线......)的前向/后向投影的性质。这些性质仅与3×4形式的射影相机矩阵P有关。那么如果相机标定矩阵K已知，我们可以得到什么？我们已经看到，可以测量欧式性质(例如两射线间角度)。

标定给出什么？图像点x向后投影形成射线，该射线由x和相机中心确定。标定是确定图像点和射线方向间的关系。假设，射线上点在欧式坐标系下可写成

=λd，那么这些点映射到点x=K[ I | 0](λd^T,1)^T=Kd(忽略比例)。因此，方向d可根据图像点x(d=K^-1x)得到。因此，我们有，

结论7.15.相机标定矩阵K是在相机欧式坐标系下x和测量的射线方向d=K^-1x间的(仿射)变换。

注：d=K^-1x一般不是单位向量。

两条射线，方向分别是d₁和d₂，各对应于图像点x₁和x₂，它们间的夹角根据两向量间夹角的余弦公式得到，(7.7)，

该公式表明，如果K和矩阵K^-TK^-1已知，那么测量对应图像点可计算两射线间夹角。已知标定矩阵的相机成为已标定相机，这种相机是一个能测量射线方向的方向传感器----像一个2D量角器。

标定矩阵K也能提供图像直线和场景平面间的关系：

结论7.16.图像直线l定义一个经过相机中心方向为n=K^Tl的平面，该方向是测量于相机的欧式坐标系下。

注：法向量n一般不是单位向量。

证明.直线l上点x，向后投影其方向是d=K^-1x，该方向与平面法向量n正交，因此满足，d^Tn=x^TK^-Tn=0。由于直线l上点满足x^Tl=0，所以l=K^-Tn，

即n=K^Tl。

7.5.1 绝对二次曲线的图像

现在，我们开始推导一个重要结论，该结论使标定矩阵K与绝对二次曲线的图像w产生关联。首先，我们必须确定无穷远平面π_∞和相机图像平面间的映射关系。π_∞上的点可写作X_∞=(d^T,0)^T，经一般相机矩阵P=KR[I |

]成像为，

这表明，

• 无穷远平面和图像间映射关系可通过平面单应x=Hd确定，(7.8)
  

H=KR

注：这个映射与相机位置C无关，仅与相机内部标定参数和关于世界坐标系的方向有关。

现在，由于绝对二次曲线Ω_∞在无穷远平面上，我们能计算在H映射下它的图像，并发现：

结论7.17.绝对二次曲线的图像(IAC)是二次曲线w=(KK^T)^-1=K^-TK^-1

证明.根据结论2.13，在点单应下x->Hx，二次曲线C映射为C->H^-TCH^-1。

同样，绝对二次曲线，是在无穷远平面上的二次曲线C=Ω_∞=I，它映射到

w=(KR)^-TI(KR)^-1=K^-TRR^-1K^-1=(KK^T)^-1。

与Ω_∞一样，二次曲线w是一个虚点型二次曲线，没有实数点。现在，可以将其视作一种方便的代数工具，后文会介绍。

有几点需要注意：

i.绝对二次曲线的图像w，仅与相机矩阵中的内参矩阵K有关；它与相机的方向和位置无关。

ii.根据(7.7)，根据下面表达式(7.9)确定两射线间角度，

这个表达式与图像中射影坐标系无关，也就是说在摄影变换作用下不会发生改变。为证明这个，思考任意2D射影变换H。点x_i变换到Hx_i，w变换到

H^-TwH^-1，因此按照(7.9)，不会发生改变，即在图像中任意射影坐标系中都是成立的。

iii.(7.9)特别重要的特性是，如果两个图像点x₁和x₂，对应于正交方向，那么(7.10)，x^T₁wx₂=0。这个方程对w提供线性约束。

iv.我们也可以定义绝对二次曲线的对偶图像(DIAC)为，(7.11)

w*=w^-1=KK^T

这是对偶(线)二次曲线，而w是点二次曲线(尽管它不包含实数点)。二次曲线w*是Q*_∞的图像，根据(7.5)确定w*=PQ*_∞P^T。

v.结论7.17表明，如果确定一幅图像中的w(或w*)，那么也可以确定K。这是因为，对称矩阵w可唯一分解为一个对角项为正数的上三角阵和其转置的乘积w*=KK^T。

vi.在第二章中，平面π与无穷远平面π_∞相交于一条直线，这条直线与绝对二次曲线相交于两个点，这两个点是平面π的圆点。圆点的图像所在的点是平面π消失的直线与w的交点。

最后两个性质是标定算法的基础，会在下面例子中描述。

例7.17.简易标定装置

三个方形的图像提供足够多的约束以求解K。设想其中一个方形，四个角点与其图像的对应关系定义了方形所在平面π与图像之间的单应。应用这个单应到π上的圆点可以确定它们的图像H(1,±i,0)^T。因此，我们有w(未知)上的两个点。相同的步骤应用与其他的方形，同样产生共计6个w上的点，通过这些点我们可以计算w(因为五个点即可求解二次曲线)。算法具体步骤如下：

i.对每个方形，计算映射角点(0,0)^T,(1,0)^T,(0,1)^T,(1,1)^T到它们图像的单应H。

ii.计算方形所在平面的圆点图像H(1,±i,0)^T。记H=(h₁,h₂,h₃)，那么圆点图像是h₁±ih₂。

iii.拟合二次曲线w满足6个圆点图像。圆点图像在w上的约束可以记作两个实约束。如果h₁±ih₂在w上，那么(h₁±ih₂)^Tw(h₁±ih₂)=0，虚数和实数部分分别记作，(7.12)

这是关于w的线性方程。根据5个或多个这样的方程，确定二次曲线w(忽略比例系数)。

iv.使用Cholesky分解法根据w=(KK^T)^-1计算标定矩阵K。

      下图展示了一个标定物体，包括印有方形的三个平面和计算的标定矩阵K。出于标定目的 ，方形比标准标定物体更有优势，无需3D坐标。

我们会在7.8节中继续讨论相机标定，消失点和直线也会对K提供约束。

7.5.2 正交性与w

二次曲线w是表示图像中正交关系的装置。如(7.10)所证，如果两个图像点x₁和x₂向后投影为正交射线，那么点x^T₁wx₂=0满足。类似地，也可以证明，

结论7.19.点x和直线l向后投影分别为射线和平面且两者正交，那么两者满足l=wx。

从几何角度讲，这些关系表示：向后投影为正交射线的图像点关于w共轭，即x^T₁wx₂=0；向后投影为相互正交的射线和平面的图像点和图像直线满足极点-极线关系l=wx。这两个关系的草图表示如下：

正交的几何表示、根据测量的图像点计算的两射线夹角的射影解释，都是前期文章推导的关系的再次总结概述。例如，我们已经推导过三维空间两直线间夹角的射影表达式(3.23)，即

其中d₁和d₂是两直线的方向(是直线与无穷远平面的交点)。射线是三维空间中的直线，相交于相机中心，所以该公式可直接应用与射线。这正是(7.9)所表达的----只不过是在图像中进行计算。

在(7.8)H=KR的作用下，它是世界坐标系下无穷远平面与图像平面之间的单应，Ω_∞->H^TwH=(KR)^Tw(KR)并且d_i=H^-1x_i=(KR)x_i。将这些关系代入上面公式可得(7.9)。类似地，图像中正交关系的共轭与极点-极线关系都是无穷远平面上的点的图像，可以对比下图与极点-极线章节中的图。

在实际中，这些正交结果在消失点和消失直线中有巨大的使用价值。