正方形中的旋转探究，难度不大，但方法较多！

如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．

（1）若BE＝2，求AF的长度；（2）求证：AF+2BG=

AD．

解：(1)方法一：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠EBC＝90°，AC²＝AB²+BC²＝2BC²，∴CE²＝BE²+BC²，

∵EC绕点E逆时旋转90°得到EF，∴EF＝EC，∠FEC＝90°，

∴∠EFC＝∠ECF＝45°，CF²＝EF²+CE²＝2CE²＝2BE²+2BC²，∴∠EFC＝∠EAC＝45°，∴A、C、E、F共圆，∴∠FAC＝90°，∴CF²＝AF²+AC²＝AF²+2BC²，

∴AF²+2BC²＝2BE²+2BC²，即AF²＝2BE²，∴AF²＝2×2²＝8，解得AF＝2

；

方法二：作FH⟂AB于点H，∠FEH+∠HEC=90°,∠FEH+∠EFH=90°,得∠EFH=∠HEC，EF=EC，∠FHE=∠CBE，故△EFH≌△CEB，得FH=BE，EH=BC，而AB=BC，故AB=EH，故AH=BE=2,故AF=2

(2)方法一：连接AC，AC⟂BD，由(1)知∠FAC=90°，故OG||AF,而O为AC的中点，故OG为△ACF中位线，OG=AF，BG+OG=OA，OB=OA=AD，故BG+AF=AD，即AF+2BG＝

AD．

方法二：延长AF、CB交于点H，连接AC，由(1)知∠FAC=45°，故AH||BD；同时AD||BH，故ADBH为平行四边形，BG||BF,B为CH的中点，故HF=2BG，AF+2BG=AH=BD，BD=AD，

即AF+2BG＝

AD．

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