如图1,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm。点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s。以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E。设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4)。解答下列问题:
(1)当t为何值时,AP=AQ;
(2)如图2,当t为何值时,平行四边形AQPD为菱形;
(3)是否存在某一时刻t,使四边形PQCB的面积S最小?若存在,请求出t的值及最小面积S:若不存在,请说明理由。
题意分析
①、本题给出的已知条件不多,就是有两个动点在直角三角形的两边上做匀速运动,而且该直角三角形的三边长度是已知的,两个动点的移动速度也是已知的;
②、点A、Q、P、D四点构成的四边形是平行四边形,无论Q、P在规定条件下如何运动,这四点构成的四边形一直是平行四边形,这个条件很重要;
③、小球运动的时间t是有限制的,即0≤t≤4,这个是限制条件,解题的时候需要特别注意。
解题思路分析
下面我们一个一个分析本题的问题:
①、要使AP=AQ,因为AP=AB-BP,而BP=AQ,而Rt△ABC的三边斜边长度是可以根据已知条件得出来的,所以AP=BP=AQ=2t=½AB=5,即2t=5。
②、“平行四边形AQPD为菱形,”,根据菱形的性质,有AQ=PQ=PD=AD,AP⊥DQ,不管是边相等,还是垂直关系,本质都是锐角三角函数和勾股定理的体现,所以把菱形的性质用含t的等式表示出来,就可求出符合条件的t的值;
③、“四边形PQCB的面积S最小”,而四边形的面积是没有公式的,我们又发现,四边形PQCB的面积等于三角形ABC的面积减去三角形AQP的面积,而且本小题是求t值的,因此我们把上面三个多边形的面积关系,使用含t的关系式表示出来,并且把这个关系式变换成二次函数或一次函数的形式,就可以求出t的值。
有同学会不会在这里有疑惑:为什么要变成一次函数或者二次函数的形式呢?
能有这个疑问的同学,要表扬一下,我们做数学题就是要有追根问底的精神呀!
为什么要这样呢?这是因为,在初中数学中,二次函数和一次函数是能求最值的,不是有最大值,就是有最小值。
同学们,大家明白了吗?要是还有疑问的话,可以加我微信讨论,我知无不言,言无不尽。
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