备战中考_直角三角形斜边中线定理的应用_147

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，H为AC的中点，将△ABC绕点H旋转，使点B与点A重合得到△DAE，AE、DE与BC交于P、Q两点，且CH=CQ,求BP长度。

解析：初中几何中，求线段长度的方法通常有三类，一类是通过构造直角三角形，通过运用勾股定理求；一类是通过做辅助线构造相似，运用相似比来求出；还有一类是通过等量代换得出线段之间长度关系，进而得出所求线段长度。具体采用哪种方法，根据给定的条件来选取。

由“△ABC是直角三角形，△DAE是△ABC绕点H旋转形成的”这个条件可知：△ABC和△DAE是一对全等三角形。而且有点到直线的距离定义可以推断出来，∠D=∠BAC，∠ACB=∠DEA，AE=BC=4。

看到“△ABC是直角三角形，点H是斜边AC的中点”这个已知条件，脑海中立刻就会想到连接点B和点H，这样就可以运用直角三角形斜边中线定理了。

因为点B和点A重合，连接点B、D后我们发现，借助直角三角形斜边中线定理，可以得出下面信息：AH=CH=BH=DH=EH，进而可得：△AHE，△BHC，△AHD，△AHB是等腰三角形，∠CAE=∠AED=∠ACB=∠HBC，∠HAB=∠HBA=∠HAD=∠HAD，进而得出△APC是等腰三角形，PC=PA。而且△AHE≌△BHC，△AHD≌△AHB，同时还可以得出△HQC∽△EQP。这个时候，我们发现所求线段BP在两个直角三角形里面，而且这两个直角三角形有一条公共边AB，边PA和BP有关系，如果AC边也和BP有关系问题就解决了。

分析到这里，我们基本可以确定采用哪种方法来求线段BP的长度了。

接着，我们以点A做为一个端点，做线段AF∥HE且与射线CB交与点F，此时我们会发现，△FAP和△FCA也是等腰三角形，AC=FC，AF=AP，FB=PB，且△FCA∽△FAP∽△EQP∽△HQC。

假设线段BP为a，则有AC=FC=BC+BP=4+a，PA=PC=4-BP=4-a，依据勾股定理，有PA²-BP²=AC²-BC²，整理后得(4-a)²-a²=(4+a)²-4²，未知数只有a，解出来即可。

最后需要强调一下，线段长度是正数，因此二元方程的解中的负数需要舍掉。

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