美丽的图形：卡诺定理

卡诺定理

卡诺定理卡诺定理：三角形的外心到三边距离之和等于其外接圆半径加上内切圆半径。

证明：

设的三边边长分别为a、b、c，外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心为O，外心到三边距离分别为OD、OE、OF

2S△ABC=(a+b+c)r

=a×OD+b×OE+c×OF

由A、E、O、F四点共圆，

由托勒密定理，有

AO×EF=AE×OF+AF×OE，

得出a×R=b×OF+c×OE

同理，有

b×R=a×OF+c×OD，

c×R=b×OD+a×OE

将(a+b+c)r=a×OD+b×OE+c×OF

a×R=b×OF+c×OE

b×R=a×OF+c×OD

c×R=b×OD+a×OE

四式相加，得

(a+b+c)×(R+r)=(a+b+c)×(OD+OE+OF)

故R+r=OD+OE+OF