卡诺定理
卡诺定理卡诺定理:三角形的外心到三边距离之和等于其外接圆半径加上内切圆半径。
证明:
设的三边边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心为O,外心到三边距离分别为OD、OE、OF
2S△ABC=(a+b+c)r
=a×OD+b×OE+c×OF
由A、E、O、F四点共圆,
由托勒密定理,有
AO×EF=AE×OF+AF×OE,
得出a×R=b×OF+c×OE
同理,有
b×R=a×OF+c×OD,
c×R=b×OD+a×OE
将(a+b+c)r=a×OD+b×OE+c×OF
a×R=b×OF+c×OE
b×R=a×OF+c×OD
c×R=b×OD+a×OE
四式相加,得
(a+b+c)×(R+r)=(a+b+c)×(OD+OE+OF)
故R+r=OD+OE+OF
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