极限思维

38   极 限 思 维 

    所谓极限思维，就是把所思考的问题及其条件进行理想化假设，当假设被一步步地推到极端时，问题的实质就会水落石出。

    让我们先解一道题目：

    两个人在圆桌上轮流平放一枚同样大小的硬币，后放的硬币不能压在先放的硬币之上，连续下去，谁放下最后一枚而使对方没有位置再放时，谁就获胜。设两人都是能手，试问是先放的胜还是后放的胜？

    思路最容易受阻的情况是：在实际生活中，由于现状过于复杂，各种现象之间的变量受随机因素影响太大，使人无法厘清极为复杂的各种关系。在这种情况下，运用极限思维（极限假设法）似乎是一条出路。所谓极限思维，就是把所思考的问题及其条件进行理想化假设，当假设被一步步地推到极端时，问题的实质便会凸现出来。

    上述题目的解决思路是：可以用极限思维的方法将这一问题巧妙化解。如果我们把想象推到极限，假设桌子小到只有一枚硬币大小，或者硬币大到桌面一般大小，情形会怎样呢7 显然是先放的人会获胜。由这个极端的情况推论．不管桌子有多大．硬币有多小，先放的人只要将第一枚硬币放在圆桌的中心，然后总是将硬币放在对手所放硬币的对称点，这样，先放者就一定会获胜。

    极限思维是一种非常奇妙和有效的思维技巧，例如：

    一位老师对孩子们说："人多好办事，人多力量大，比如一个人单独造一条船，要花一年的时间，如果12 个人一起来造一条船，只要一个月就够了，可见人越多，干活就越快，当然是成正比的。"

    这时，一个小男孩站起来，大胆发挥说："如果365 人一起造船，只要一天，8640 人只要一小时，而以51840 人一起造的话，只要一分钟就可以造出一条船来了。"

    对此，老师无言以对。因为他的"人多好办事，人多力量大"的前提是错的，

    只有在一定的条件下，一定的范围内，人数和时间的关系才有意义。结构功能主义正是通过这一事例发现了问题，系统的结构和功能之间最优值的问题正是需要在极限的假设中才容易被发现。

    极限思维实际上是一种极限假设，这种思维言方法在科学发现的过程中，特别在重大的前提性理论的建构中，有着极其生要的作用。

    事实上，童年的牛顿不仅仅是因为看见一个苹果落地就想到万有引力，牛顿的思考是顺着极限假设的方向拓展的：树上的苹果为什么落下来而不是飞上天呢？如果苹果树长到10 英尺高，苹果还会落下来吗？会，那么苹果树长到100英尺高呢？还会落到地上；要是再长到1000 英尺、10000 英尺... ... 还是会落到地球上来。但是，假如苹果树有一天能长到月亮那么高，苹果还会落下来吗？当然不会，因为苹果这时肯定是飞到月亮上而不是落到地球上。于是，一个新的问题出来了：在苹果树长高的过程中，即在地球和月亮之间必定有一个地方是中间值，属于未定状态，这时，苹果既不会掉到地球上，也不会飞到月球上，而是处于一种极限平衡中，这个极限值究竟是由什么力量决定的呢？这一极限点又在哪里呢？这种奇妙的极限思维所导出的奇妙问题深深地困惑着早年的牛顿，并一步步引导他探索引力的奥秘。

    这里，我们可以通过伽利略的惊人假设来理解什么是极限思维，极限思维的具体过程是如何进行的。情境是这样的：

    1 ）如果你手中拿着一块石头，然后将手松开，石头就会下落。所有的东西都是这样。过去的物理学家说："重的东西有回到老家 ― ‵地球′的倾向。"

    2 ）假如我推一个物体，比如一辆车，或者使一个球在水平面上向前滚动，球功了，并且会继续滚动一会儿，然后才静止不动。推得重，球就多走些；推得轻，球就早些停住。

    3 ）这就是古老的外加力最简单的含义即亚里士多德的思路― "如果推动的力不再作用的话，运动的物体早晚总要停止不动。"伽利略并不满足，他反问自己："我们是否了解这些运动究竟是怎样进行的呢？"他怀着强烈的欲望，想探个究竟，他在想："我们知道重的物体下落，但它是怎样下落的呢？在下落中，物体获得速度，速度随着下落的距离的加大而不断加大。当物体下落时，速度到底会发生什么情况呢？

    4 ）他想测出物体下落的距离与速度增加的关系，但由于下落的速度太快，不容易准确测定它的刻度值，这使他苦恼，能不能用别的方法呢？这时他忽然想到："难道不能用更方便的方法研究这个问题吗？圆球在斜面上向下滚动，我应该研究它。难道自由落体不就是一个特殊的例子吗？― 无非其下落角度不是小于90 度，便是正好等于90 度而已！"

    5 ）他研究了不同情况下的加速度，发现倾角越小，加速度也越小：角的大小次序和加速度减慢的次序是对应的。当他发现倾斜角的大小与加速度的减慢与联系的原理，加速度便成为最重要的事实了。

    6 ）这时，他忽然又反问自己："这不是图像的一半吗？如果向上抛东西，如果向上坡方向推动圆球，那么发生的情况不是和己有的图像对称吗？难道不是和镜中的映像相同，是已有图像的重复，同时又与它相互补充，而成为完整的图像吗？"当向上抛掷一个物体的时候，并没有正的加速度，而是负的加速度。在它上升运动的过程中，物体运动的速度就缓慢了下来。但是，和下落物体正的加速度相对称，随着倾斜角从直上方向的90度逐渐减小，负的加速度也逐渐减少，从而和卜面一半的图合成为一个密闭吻合的图形。当平面是水平的，倾斜角是零度，而物体仍在运动的时候，情形如何呢？在每种情况下，我们都是从一定的速度开始的。根据这个结构，必然发生什么情况呢？水平面以下是正的加速度，水平面以上是负的加速度... ... 有没有渐渐接近，既不是负的加速度也不是正的加速度呢？那不就是... ... 常速运动吗？！一个物体在一定的方向上水平运动，假如没有外力来改变它的运动状态，它将以匀速继续运动... ... 直到永恒。

    7 ）但常识所看到的水平运动却并非如此，人们看到的还是― "外力加上去，球就运动，外力去掉，球就渐趋停止"。是否能再一次用极限假设的方法设计出一套实验让人信服呢？伽利略果真又设计出了一个实验，他知道用同样的外力推动小球，小球在不同光滑度的平面L 滚动的距离是不同的。那么，可否用极限思维假设平面越来越光滑，空气等其他阻力越来越小，以至最后理想化地把一切摩擦力全部消除，结果会怎样呢？是否会永远滚动下去呢？

    8 ）经过思考，伽利略又设计出了一个极限推导的实验，假设摩擦力小到可以忽略时，当球滚下一个斜坡之后，由于惯性的作用，小球又可以滚上另一个斜面，直到和出发点一样高的地方。如果将上升方向的斜面逐渐延长，小球仍然能滚到同样的高度，说明小球的运动与斜面的倾斜度无关。那么，按极限假设法的逻辑，当把斜面最后延伸为一条永无止境的平面时，小球也将永恒地滚动下去。亚里士多德的被千百年来人们的常识所认定的"真理"终于在伽利略极限假设思维面前彻底崩溃了。