高中数学：两角和与差的正弦、余弦及正切公式的应用

两角和与差的正弦、余弦及正切公式是三角函数运算及其化简求值时经常用到的重要公式。

例1、已知

，且

，求

的值。

分析：本题可以由

，求得

和

，再求得

，也可以由

，求得

，再求得

。

解法1：由

，得

。

由

，得

。

而

，于是

。

∴

。

解法2：由

，得

，

即

。

∴

。①

①式两边平方得

，即

。

∴

。

由求根公式得

，由

，知

，而

，可得

。②

把②代入①得

。

于是

。

解法3：由解法1可得

。

∴

。

例2、已知

求

。

思路分析：由韦达定理可得

进而可求出

的值，再将所求值的三角函数式用tan

表示便可知其值。

解法一：由韦达定理得tan

，

所以tan

解法二：由韦达定理得tan

，

所以tan

，

。

思考：（1）本例中解法二比解法一简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题知识的“最近发展区”。（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数的关系，三角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，且抓住公式的结构特征后，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如：