2021年山东济南中考数学压轴题，抛物线上的相似三角形问题

这是2021年山东济南中考数学的压轴题，是一道抛物线上的等腰三角形和相似三角形问题，难度比较适中，适合平时多练一练，强化解题能力。

抛物线y=ax^2+bx+3的图像经过点A(-1,0), 点B(3,0)，顶点为C.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1, 点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，作EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围.

分析：(1)建议用韦达定理分别求a,b. 然后化为顶点式，直接得到C点的坐标；

(2)设D点坐标，由CD=AD求得D的坐标，然后有两种方法，一种是求CD的解析式，然后求CD与抛物线的交点坐标；另一种是利用斜率公式，因为P，C，D三点中的任意两点都可以求得CD的斜率。后者更好用，但平时用得比较少。一定要学会哦！

(3)破题的关键是证明△EAF和△PCE相似，再利用相似三角形边成比例的关系，就可以列得m关于E的横坐标的函数关系，由E的横坐标的取值范围，就可能求得m的取值范围.

解：(1)由3/a=-3，得a=-1; 由-b/a=-1+3=2，得b=2;

∴抛物线的表达式为y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4, C(1,4).

(2)设D(d,0)，由CD=AD，有(1-d)^2+16=(d+1)^2, 解得：d=4.

设P(p, -p^2+2p+3),

由(-p^2+2p+3)/(p-4)=4/(1-4)=-4/3,

解得：p=7/3或p=1(舍去)，

-p^2+2p+3=-49/9+14/3+3=20/9,

∴P(7/3,20/9).

解：(3)∠CEF=∠CAB+∠AFE, 且∠CEF=∠CEP+∠PEF=∠CEP+∠CAB,

∴∠AFE=∠CEP, 又∠EAF=∠PCE, ∴△EAF∽△PCE, ∴AE/CP=AF/CE,

直线AC的解析式为：y=2x+2, 可设E(t, 2t+2) -1<t<1,

则AE=根号((t+1)^2+(2t+2)^2)=根号5(t+1). 

CE=根号((t-1)^2+(2t+2-4)^2)=根号5(1-t).

CP=根号((1-7/3)^2+(4-20/9)^2)=20/9.

∴5(1-t^2)=20(m+1)/9，化得：m=-9t^2/4+5/4, 【这是相似三角形边的比例关系转化来的】

∴m的取值范围为：-1<m≤5/4.

您觉得这道题怎么样呢？