老黄用初中的方法一步搞定高数难题，简便解决高数极值和最值问题

在老黄解决一道高数极值和最值难题的过程中，老黄发现，这道题用初中数学“胡不归”的思想，竟然解起来更加简便。当然，这也不算一道真正的难题，只是用高数的知识解起来，还是蛮麻烦的。题目如下：

要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.

问题的主要难点来自于，所有的数据都是用参数表示的，一个具体的数据都没有。这会让运用初中知识解决的想法，望而却步。不过老黄可不管这些，依然迎“难”而上，竟然发现，用初中的方法解决更简便。没有对比就没有伤害，老黄先介绍高等数学的解决方法：

解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=根号(x^2+a^2).

总运费f(x)=m*AM+n*BM=m(d-x)+n根号(x^2+a^2).

f(x)在[0,d]上连续且可导.

当f’(x)=-m+nx/根号(x^2+a^2)=0时，x=am/根号(n^2-m^2),【可导函数有唯一的稳定点，比较稳定点和两个端点的函数值，就可以得到最值】

又f(0)=md+na, f(d)=n根号(d^2+a^2),

f(am/根号(n^2-m^2))=md+a根号(n^2-m^2)<md+na=f(0).

令m=nsinθ, 则md+a根号(n^2-m^2)=ndsinθ+nacosθ 【因为n>m，所以可设sinθ=m/n】

=n根号(d^2+a^2)sin(θ+φ)≤ns根号(d^2+a^2)=f(d). (φ=arcsin(a/根号(d^2+a^2))).【这一步是这种解法的核心，好好理解，φ是多少其实是没有关系的】

∴在[0,d]上f(am/根号(n^2-m^2))最小，即离C点am/根号(n^2-m^2)千米处修铁路运费最省。

不知道你在上面的解法中，有没有闻到“胡不归”的味道，没错，这其实就是一道初中数学经典题型之胡不归问题。

从胡不归问题的角度来看，它要求的是n*BM+m*AM的最小值。如果通过求BM+m*AM/n的最小值，来得到n*BM+m*AM的最小值，那不就是妥妥的胡不归问题了吗？这就可以以AM为斜边，在AM的下方构造一个直角三角形AMD，使角DAM的正弦等于n分之m，这个角DAM，其实就是上面的解法中的θ。当直角顶点D和B，M在同一直线上时，运费就最小。

虽然这样，由于问题中的数据全是参数，所以没有动手求解之前，老黄心里还是没有什么底的。但把图作出来之后，却发现，用这种方法竟然简便了许多。

解2：以AM为斜边在AM下方作Rt△ADM，使sin∠DAM=m/n.

当B, M, D在同一直线上时,

总运费为：n*BM+m*AM=n(BM+m*AM/n)=n(BM+AM*sin∠DAM)=n(BM+MD)=nBD最小.【具体是多少其实并不需要知识，老黄写出来，主要是怕有小伙伴看不明白】

∵Rt△BCM∽Rt△ADM, ∴CM=BC·tan∠DAM=am/根号(n^2-m^2).

这不就是一步搞定的事吗？虽然这样，高数的方法，也不能放弃。