2022年山东滨州中考数学压轴题，抛物线上直角三角形的存在性问题

在中考数学压轴题中，关于抛物线上的直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形以及相似三角形和全等三角形的存在性，这类问题是被问得最多的。比如2022年山东滨州中考数学的这道压轴题，就是关于抛物线上直角三角形的存在性问题。

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x^2-2x-3与x轴相交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，BC.

(1)求线段AC的长；

(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标.

分析：(1)第一小题非常简单直接，解抛物线对应的方程，得到A点的坐标，而C点的坐标可以直接得到，就可以运用两点的距离公式求AC的长。

(2)当PA=PC时，点P在AC的垂直平分线上，因此需要求AC的中点坐标，以及AC的斜率，从而得到它的垂直平分线的斜率，这两个斜率的积等于-1，这是互相垂直的两条直线斜率的关系。然后用点斜式写出AC垂直平分线的解析式。也可以用待定系数法求直线的方程。

最后求抛物线对称轴和这条直线的交点坐标，就是点P的坐标了。

(3)这种问题，能用几何方法，就尽量不用代数方法。不过这次几何方法似乎有点行不通。

直角三角形至少有三种情形，就是分别以B，C，M为直角顶点的情形。

其中，当C是直角顶点时，就求过C点与BC垂直的直线的方程，然后求这条直线与抛物线的交点坐标，就是M点的坐标了。

同样的道理，当B是直角顶点时，就求过B点与BC垂直的直线方程，然后求其与抛物线的交点坐标，就是M点的第二个坐标。

上面两种情形都是比较好求的，当M是直角顶点时，就没有那么好求了。这时利用勾股定理，会得到一个关于M点的横坐标的一元三次方程。幸好这个方程不难因式分解，从而解得三个根，其中只有两个根合理，就得到了M点的两个坐标。所以符合条件的M点一个有四个。

解：(1)解方程x^2-2x-3=0，得x=-1或x=3，

A(-1,0), C(0,-3), AC=根号(1^2+(-3)^2)=根号10.

(2)(-1+3)/2=1，可设P(1, y). A, C的中点为(-1/2, -3/2),

AC的斜率为：-3, AC的垂直平分线为：y=(x+1/2)/3-3/2,

当x=1时，y=-1, ∴P(1, -1).

(3)设M(m, n), BC的斜率为：1,

过C垂直于BC的直线为：y=-x-3,

当x^2-2x-3=-x-3，即x^2-x=0时，m=1, n=1-2-3=-4, M(1,-4).

过B垂直于BC的直线为：y=-x+3,

当x^2-2x-3=-x+3，即x^2-x-6=0时，m+3=1, m=-2, n=4+4-3=5, M(-2,5).

当BM^2+CM^2=BC^2=32+32=18，即n^2+(m-3)^2+(n+3)^2+m^2=18时，

m^2-3m+n^2+3n=0, 即m^2-3m+(m^2-2m-3)2+3(m^2-2m-3)=0,

m^3-4m^2+2m+3=(m-3)(m^2-m-1)=0, ∴m=(1-根号5)/2或m=(1+根号5)/2,

n=-(5-根号5)/2或n=-(5+根号5)/2,

∴M(1,-4)或(-2,5)或((1±根号5)/2, -(5±根号5)/2).

老黄尝试过用几何法解决最后这一步，想避开列三次方程，但是一直想不出来，不知道你有没有更好的方法呢？