比较少见的解三角形结合求导问题，2022高考理科全国甲卷真题分析

这是2022年高考数学理科全国甲卷的填空压轴题，是一道比较少见的解三角形还要结合求导的问题。我们一般解三角形的题目中很少出现需要求导的情况，反之求导问题多数与函数单调性有关，也比较少出现解三角形的情况。这道题很好地把两者给结合在了一起。

已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120度，AD=2，CD=2BD，当AC/AB取得最小值时，BD=_______.

分析：首先，要做一个草图，否则很难明白题目在说什么。这个图非常简单，但是往往越简单的图形，越不知道往哪里入手。在经过多次快速尝试错误之后，老黄才终于找到了它的突破口。

这道题的第一步要重复运用“余弦定理”两次。分别表示三角形ABC的两条边的平方，即：

AC^2=CD^2+AD^2-2CD·ADcos60度=4BD^2-4BD+4,

一方面角ADC=180度-角ADB=180度-120度=60度，因为两个角是互为邻补角。另一方面，把AC方转换成关于BD的二次函数，下面同理：

AB^2=BD^2+AD^2-2BD·ADcos120度=BD^2+2BD+4,

以上是解三角形的部分。接下来想办法把AC/AB转换成关于BD的函数，就要进入求导的部分了。求两者的比，得到AC^2/AB^2=4(BD^2-BD+1)/(BD^2+2BD+4)，显然，只要AC^2/AB^2最小，AC/AB就最小。所以我们只要求AC^2/AB^2最小时的BD，就可以了。

为了让大家(包括老黄)更适应，把上式转化成：f(x)=(x2-x+1)/(x2+2x+4), 其中f(x)=AC^2/AB^2, x=BD. 现在就可以利用求导的方法，来求最小值点了。

即 f’(x)=3(x^2+2x-2)/(x^2+2x+4)^2，可以发现，函数f(x)有两个极值点。做为一道填空题，我们不必把两个极值都求出来，再比较大小，从而得到最小值。而是根据两个极值点的符号性质就可以做出判断。由于其中一个极值点是负数，而BD一定是正数，所以可以排除，从而只剩下一个极值点，这个极值点就一定是最小值点。它就是x=根号3-1.

即当AC/AB取得最小值时，BD=根号3-1.

这样的题目对大多数人来说，不算特别难（对老黄来说特别难，老黄只是当了一回事后诸葛亮），但很有创新性。高考数学应该多出一些这样的题。