2022年江苏省苏州市中考数学的压轴题,是一道三角形问题,最后一问,特别乱,很难找到头绪。老黄也不会解,不过摸着石头过河,总算还是把它给解决了。
(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE//AC,交BC于点E.
①如果DE=1,BD=3/2,求BC的长;
②试探究AB/AD-BE/DE是否为定值. 如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(2)如图2,∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角,∠BCF=2∠CBG,CD平分∠BCF,交AB的延长线于点D,DE//AC,交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1, △CDE的面积为S2, △BDE的面积为S3,若 S1·S3=9S2^2/16,求cos∠CBD.
分析:(1)①第一小题的第一个问题,也不算送分题,当然相对第二小题,就简单了很多。它还给第二小题的解法提供了启发。图中有两组相似三角形,三角形BDE和三角形BAC是“A”型相似,还有三角形ACD和三角形DEB也相似。其实是三个三角形相似。只要证明它们相似,问题就可以解决了。
②第一小题的第二个问题反而更容易。关键是证明CE=DE,然后利用DE和AC互相平行,截取AB和BC所成的线段成比例,就可以解决了。
(2)第二小题给了几个面积的关系,和求cos∠CBD似乎没有什么关系。因此要想办法把面积的关系转化成为边与边的关系。然后类似(1)①,同样是利用图中两组相似三角形的关系,就可以转化出最后的答案了。下面组织解题过程:
解:(1)①∵∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠B, ∴CD=BD=3/2,
又DE//AC, ∴∠A=∠BDE, ∴△ACD∽△DEB, ∴AC/DB=CD/BE,
∴AC·BE=DB·CD=9/4, 又BC/BE=AC/DE,【第二组比例关系也可以运用“平行线截取线段成比例的基本事实”】
∴BC=AC·BE/DE=9/4.
②∵∠CDE=∠ACD=∠BCD, ∴CE=DE,
又AB/AD=BC/CE=(BE+CE)/CE=BE/CE+1=BE/DE+1,
∴AB/AD-BE/DE=1 是定值.
(2)记△BCD的面积为S,则S1/S=AD/BD, S2/S=CE/BC, S3/S=BE/BC,
由S1·S3=9S2^2/16,有AD·BE/(BD·BC)=9CE2/(16BC^2),
化简得:AD·BE/BD=9CE^2/(16BC),【化简之后依然很乱,猜想其中包含了一组相似三角形的边的比例关系】
∵∠BCF=2∠CBG, CD平分∠BFC,∴∠BCD=∠FCD=∠CBG,
又∠FCD=∠A+∠ADC, ∠CBG=∠BDE+∠E,
∵DE//AC, ∴∠A=∠BDE,∴∠ADC=∠E,∴△ACD∽△DBE,
∴AD/DE=CD/BE,又BD=CD,∴DE=CE, ∴AD=DE·CD/BE=CE·BD/BE,
∴CE·BD·BE/(BD·BE)=9CE^2/(16BC),化简得:BC/CE=9/16.
记BC=9x, CE=16x,又△CDE∽△CBD,∴CD^2=CB·CE=144x^2, ∴BD=CD=12x,
过D作DG⊥CE于点G, 则BG=BC/2=9x/2, cos∠CBD=BG/BD=3/8.
绝大多数题目,摸着石头过河都是可以解出来的。关键是中考中时间有限,不仅要能解出来,还要能在规定的时间内完成,因此平时一定要多练习。不是题海战术,而是在练习中多动脑筋,总结经验,把这种摸着石头过河的方法练到非常纯熟,中考中,才能发挥它的作用。
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