真正能够直接写出答案的，2022年苏州中考数学抛物线压轴题

这是2022年江苏省苏州市的中考数学的抛物线压轴题，以往中考，抛物线问题总是压轴题型，现在兴用几何题当最后的压轴题，抛物线压轴题反而是倒数第二题了。我们经常可以看到这类题的最后一问，要求直接写出答案。以往老黄都只是把它当做出题人的一句玩笑话，不过这道题是真的能直接写出答案的哦，就是有点超纲的嫌疑。

如图，二次函数y=-x^2+2mx+2m+1(m是常数，且m>0)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F. 连接AC,BD.

(1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求∠OBC的度数；

(2)若∠ACO=∠CBD,求m的值.

(3)若在第四象限内二次函数y=-x^2+2mx+2m+1(m是常数，且m>0)的图像上，始终存在一点P,使∠ACP=75主芭, 请结合函数的图像，直接写出m的取值范围.

分析：(1)C点的坐标其实由一般式直接就可以得到了。因为它是抛物线与y轴的交点。而A,B的坐标，可以通过对二次函数的表达式因式分解，化为交点式，直接得到。

又在直角三角形BOC中，OB和OC相等，说明这是一个等腰直角三角形，因此底角OBC就是四十五度角。

(2)将二次函数的表达式化为顶点式，可以直接得到DF的长，另外，AF，BF，EF都可以求出来，BE等于BF的根号2倍。过D作DG垂直BC于点G，由角ACO等于角CBD，可以知道直角三角形ACO和直角三角形DBG相似。由相似三角形边成比例，可以得到DG关于m的表达式。另外也可以由等腰直角三角形DEG的直角边与斜边的关系，得到DG关于m的另一个表达式。这样就可以得到一个关于m的方程，解得m值了。不过这个方程是很复杂的，要细心求解才行。

(3)观察可以发现，角BDE必在30度和45度之间。因为如果角BDE小于30度，点P就在第一象限；而OG>OA，所以角BDE一定小于45度。

根据正切函数单调增的性质，对三者分别求正切，就可以直接得到答案了。就可以直接得到答案了。不过这就有点超纲了，因为正切函数的单调性，初三并没有涉及。当然，能理解就好。下面组织解题过程：

解：(1)y=-x^2+2mx+2m+1=-(x-1)(x+2m+1),

∴A(-1,0), B(2m+1,0), C(0,2m+1).

在Rt△BOC中, OB=OC=2m+1, ∴∠OBC=45度.

(2)由y=-(x-m)^2+(m+1)^2, 知

DF=(m+1)^2, AF=BF=EF=m+1, BE=根号2 (m+1)，

过D作DG⊥BC于点G，∵∠ACO=∠CBD, ∴Rt△ACO∽Rt△DBG,

∴DG/(BE+EG)=AO/OC=1/(2m+1),

又EG=DG=DE/根号2=(DF-EF)/根号2=((m+1)^2-(m+1))/根号2,

∴(((m+1)^2-(m+1))/根号2)/(根号2(m+1)+((m+1)^2-(m+1))/根号2)=1/(2m+1),

解得：m=1.【已经舍去不合理的 值】

(3)0<m<(根号3-1)/2.

你觉得这道题怎么样呢？