老黄这次专门选择了一道非常简单的证明题。老黄之意不在证明题本身,而是通过这道证明题,再次明确一下凸函数的定义,包括上凸和下凸两种形式。
定义和概念最大的不同是在于,定义通常是用数学符号和数学语言来描述的,而概念则通常是可以口头表达的。因此定义往往伴随有定义公式。比如导数、积分等数学定义,都是有公式的。凸函数同样是有公式的,而且对应上凸和下凸两种情况,还有两个公式。
从准确性来说,当然是定义更加准确;但是从理解和记忆的角度来说,概念会比定义更容易理解和记忆。因此定义和概念最好结合起来,才能真正理解它们。
概念和定义的本质都是唯一的。但不同的人,可能派生出不同的概念和定义。老黄觉得,概念有多种形式,是有利的。但是定义最好统一成一种形式,这样更合理。想要理解凸函数的定义,就要深刻理解凸函数的两个定义公式,并且把它转化成属于自己的概念。
若f为凸函数,实数λ≠0,证明:
(1)若λ>0,λf与f凸性相同;(2)若λ<0,λf与f凸性相反.
分析:用自己的语言表达,就是要证明凸函数与非0常数λ的积的凸性变化规律:1、若λ是正数,那么函数λf与f的凸性相同。2、若λ小于0,则λf与f的凸性相反。
这其实是非常直观的,一眼就可以看出来,不过老黄刚才已经说了,探究这个问题,并非在于问题本身。一方面直接看出来的结论,通常不能做为数学的依据,另一方面,老黄的目的是通过探究这个问题,可以加深对凸函数定义的理解。
当f上凸时,根据上凸的定义,在x1和x2之间,曲线上的任一点都不在割线的下方。如果λ大于零,两边乘以λ,不等号方向不变,得到的是λf的上凸定义公式,因此λf上凸;
若λ小于0,两边同时乘以λ, 不等号要改变方向,得到的是λf的下凸定义公式,因此λf下凸。
同理,当f下凸时,根据下凸的定义,在x1和x2之间,曲线上的任一点都不在割线的上方。
如果λ大于零,两边乘以λ,不等号方向不变,得到的是λf的下凸定义公式,因此λf下凸;
若λ小于0,两边同时乘以λ, 不等号的方向要发生改变,得到的是λf的上凸定义公式,因此λf上凸。下面是具体的证明过程:
证明:设x1,x2为任意两点, μ∈(0,1),【通常用的是λ∈(0,1),但这里λ已经有其它定义】
当f上凸时, f(μx1+(1-μ)x2)≥μf(x1)+(1-μ)f(x2),
若λ>0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≥μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf上凸;
若λ<0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≤μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf下凸;
当f下凸时, f(μx1+(1-μ)x2)≤μf(x1)+(1-μ)f(x2),
若λ>0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≤μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf下凸;
若λ<0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≥μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf上凸;
得证!
注意,λ大于0的两种情形下,λf和 f的凸性都是相同的,λ小于0的两种情况下,λ和f的凸性都是相反的。这就证明了:凸函数与正数相乘,凸性不变,凸函数与负数相乘,凸性要发生变化了。
特别的,当λ等于-1时,可以发现相反的函数f和-f,会有相反的凸性。一个上凸,一个就下凸。有兴趣的小伙伴,可以对λ取不同的值,画出图象来,就会印象更加深刻了。
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