解三角形的三个重要公式，你都掌握了吗？2022新高考卷II真题

老黄觉得，解三角形最重要的三个公式分别是：正弦公式、余弦公式和三角形的正弦面积公式，以及它们的变形公式。2022年新高考全国卷II的解三角形问题，就很好地结合了这三个重要公式。

记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 以a, b, c为边长的三个正三角形的面积分别S1, S2, S3, 且S1-S2+S3=√3/2, sinB=1/3.

(1)求△ABC的面积.

(2)若sinAsinC=√2/3, 求b.

原题是没有图形的，老黄为了做个封面，就画了下面的图形，也能更直观地理解题目的条件和要求。我个你讲喔，要把这个图画准确，可比解这道题难多了哦。当然老黄也就画个草图而已。

分析：(1)题目的突破点之一，是利用三个正三角形的正弦面积公式，即S1=a^2sin60度/2, S2=b^2sin60度/2, S3=c^2sin60度/2, 利用题目所给的三个正三角形的面积关系，就可以转化得a^2-b^2+c^2=2. 因为上面所提到的三个公式都与边角有关，所以把面积关系转化成边的关系，会有更多的可能。

接下来利用角B的余弦公式：2accosB=a^2+c^2-b^2，就可以得到accosB=1.

下面判断角B是锐角还是钝角，因为要用到它的余弦，所以要判断角B的余弦的符号性质。因为b^2=a^2+c^2-2，即b比直角三角形勾股定理中的斜边相对要小，根据“小边对小角”，可以知道，角B是一个锐角。

因此cosB=√(𝟏−(𝒔𝒊𝒏 𝑩)^𝟐)=2√𝟐/3, 这就可以求得ac=1/cosB=3√𝟐/4.

再次运用三角形ABC的正弦面积公式，就有S△ABC=acsinB/2=√𝟐/8.

(2)第二小题一看就知道要用到正弦公式：sinA/a=sinB/b=sinC/c. 然后分别用边的关系表示sinA和sinC. 就有边角关系sinAsinC=ac/(9b^2). 分子分母同时乘以cosB, 分子化为accosB=1，分母则化为9b^2cosB=6√𝟐b^2. 即1/(6√𝟐b^2)=√𝟐/3. 轻松解得b=1/2, 或b=-1/2(舍去).

下面组织解题过程：

解：(1)S1-S2+S3=(a^2-b^2+c^2)sin60度/2=√3/2,

a^2-b^2+c^2=2, 又a^2+c^2-b2=2accosB, ∴accosB=1,

由b^2=a^2+c^2-2, 知B<90度. cosB=√(1-(sinB)^2)=2√2/3,

△ABC的面积S=acsinB/2=ac/6=1/(6cosB)=√2/8.

(2)由sinA/a=sinB/b=sinC/c,有sinA=a/(3b), sinC=c/(3b).

sinAsinC=ac/(9b^2)=1/(9b^2cosB)=1/(6√2b^2)=√2/3.

解得： b=1/2, 或b=-1/2(舍去).

所以，解三角形的三个重要公式及其各种变形形式，你都掌握了吗？