老黄以前说过,拉格朗日中值定理的应用都是很简单的。然而这道应用拉格朗日中值定理证明不等式的问题,狠狠地打了老黄的脸,让老黄收回以前说过的话。
对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,证明:
对x>0,有0<1/(ln(1+x))-1/x<1.
分析:题目要求很直接,就是对函数ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,证明当x>0时,不等式0<1/(ln(1+x))-1/x<1成立。仔细思考过后,发现这道题根本就无从下嘴嘛。那怎么办?
那就根据拉格朗日中值定理的公式,把该做的先做了呗。比如求导,f'(x)=1/(1+x)。可以发现,对任意0<a<b, f(x)在[a,b]上都符合拉格朗日中值定理。
而且对任意ξ∈(a,b), 都有0<f’(ξ)<1. 老黄一开始以为这是解决这道题的重要依据,后面才发现,这点并不重要。那老黄为什么还要写出来呢?解高数难题,哪有可能每一次尝试,每点思考都是正确的啊。出错是很正常的哦。
这道题最大的困难来自于,原不等式中的式子并无法直接转换成拉格朗日中值定理公式中(f(b)-f(a))/(b-a)的形式。不过我们仍要对它进行一些格式转化的尝试,比如:
𝟏/(𝐥𝐧(𝟏+𝒙))−𝟏/𝒙=(𝒙−𝒍𝒏(𝟏+𝒙))/(𝒙𝐥𝐧(𝟏+𝒙))= (𝒙/(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))−𝟏)/𝒙.
接下来这一步才是关键。结合经验,经过多次尝试错误之后,发现在[0,x]上应用拉格朗日中值定理,有:
(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))/𝒙=(𝒍𝒏(𝟏+𝒙)−𝒍𝒏𝟏)/𝒙=𝟏/(𝟏+ξ ).
观察上面两个式子,可以发现有一对互为倒数关系:𝒙/(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))和(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))/𝒙。将第二个式子的倒数代入第一个式子,就可以得到:
𝟏/(𝐥𝐧(𝟏+𝒙))−𝟏/𝒙=(𝟏+ξ−𝟏)/𝒙=ξ /𝒙.
答案已经出来了,你瞧出来了吗?
下面组织解题过程:
解:f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,
∴存在ξ∈(0,x), 有(f(x)-f(0))/(x-0)=(ln(1+x))/x=1/(1+ξ).
1/(ln(1+x))-1/x=(x/(ln(1+x))-1)/x=(1+ξ -1)/x=ξ/x,
∵0<"ξ" /x<1,∴0<1/(ln(1+x))-1/x<1.
你瞧!证明的过程其实特别简短。关键是,如果没有前面的分析,每一步又是怎么得到的呢?现在你知道怎么解决这类问题了吗?
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