拉格朗日中值定理的应用，有时候也没有那么容易，看看这道题

老黄以前说过，拉格朗日中值定理的应用都是很简单的。然而这道应用拉格朗日中值定理证明不等式的问题，狠狠地打了老黄的脸，让老黄收回以前说过的话。

对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明：

对x>0，有0<1/(ln⁡(1+x))-1/x<1.

分析：题目要求很直接，就是对函数ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明当x>0时，不等式0<1/(ln⁡(1+x))-1/x<1成立。仔细思考过后，发现这道题根本就无从下嘴嘛。那怎么办？

那就根据拉格朗日中值定理的公式，把该做的先做了呗。比如求导，f'(x)=1/(1+x)。可以发现，对任意0<a<b, f(x)在[a,b]上都符合拉格朗日中值定理。

而且对任意ξ∈(a,b), 都有0<f’(ξ)<1. 老黄一开始以为这是解决这道题的重要依据，后面才发现，这点并不重要。那老黄为什么还要写出来呢？解高数难题，哪有可能每一次尝试，每点思考都是正确的啊。出错是很正常的哦。

这道题最大的困难来自于，原不等式中的式子并无法直接转换成拉格朗日中值定理公式中(f(b)-f(a))/(b-a)的形式。不过我们仍要对它进行一些格式转化的尝试，比如：

𝟏/(𝐥𝐧⁡(𝟏+𝒙))−𝟏/𝒙=(𝒙−𝒍𝒏(𝟏+𝒙))/(𝒙𝐥𝐧⁡(𝟏+𝒙))= (𝒙/(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))−𝟏)/𝒙.

接下来这一步才是关键。结合经验，经过多次尝试错误之后，发现在[0,x]上应用拉格朗日中值定理，有：

(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))/𝒙=(𝒍𝒏(𝟏+𝒙)−𝒍𝒏𝟏)/𝒙=𝟏/(𝟏+ξ ).

观察上面两个式子，可以发现有一对互为倒数关系：𝒙/(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))和(𝒍𝒏(𝟏+𝒙))/𝒙。将第二个式子的倒数代入第一个式子，就可以得到：

𝟏/(𝐥𝐧⁡(𝟏+𝒙))−𝟏/𝒙=(𝟏+ξ−𝟏)/𝒙=ξ /𝒙.

答案已经出来了，你瞧出来了吗？

下面组织解题过程：

解：f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,

∴存在ξ∈(0,x), 有(f(x)-f(0))/(x-0)=(ln(1+x))/x=1/(1+ξ).

1/(ln⁡(1+x))-1/x=(x/(ln(1+x))-1)/x=(1+ξ -1)/x=ξ/x,

∵0<"ξ" /x<1，∴0<1/(ln⁡(1+x))-1/x<1.

你瞧！证明的过程其实特别简短。关键是，如果没有前面的分析，每一步又是怎么得到的呢？现在你知道怎么解决这类问题了吗？