老黄这个老同志，玩啥高数，这不就中招了吗。信誓旦旦推出两个公式就能解决网友分享的t8高数难题。结果公式倒是推出来了一个，可惜一用，却发现被这道题偷袭了一下，哑口无言，只好在前面两个公式的基础上，继续深入拓展探究。
这回还是先拓展第一个，超复杂的一阶微分方程公式，是在原先“导数和原函数的差是一个多项式的微分方程公式”基础上，继续深入探究的。老黄原本推导的公式如下图：
老黄推导完了，还津津有味地告诉大家，不一定是"f'(x)-f(x)=Pn(x)"的形式，也有可能是“f'(x)+f(x)=Pn(x)”的形式。即“导数与原函数的和等于一个多项式的微分方程的通解公式”。结果原题更狠，推导过程中，发现要用到更复杂的“导数与原函数的线性和等于一个多项式的微分方程的通解公式”，即“f'(x)+kf(x)=Pn(x)”的形式，其中k为非0常数。即老黄前面推出来的是k=-1的公式特例，就算老黄后来补充提及的，也不过是k=1的特例。如果k等于非0的任意常数呢？这个公式要怎么推导？
其实前面的推导也并非完全没有，毕竟它给了老黄思路，如果你想看懂老黄新的推导，最好先看懂前面的推导，文字性的在老黄之前的作品中，这里只重现图片过程。
从上面的过程可以看到，老黄是由简入繁的，新的公式不过就是进一步变得更加繁琐罢了。推导的方法还是一样的。从n=0, 1, 2, 3, …, 一直到最后就推出了我们想要的公式。只是每一步推导，都会变得更加困难而已。对于老黄这种低智商的人来说，真的每一步都是考验。公式的推导过程依然用图片的形式展示如下：
老黄甚至无法告诉你，为什么每一步的结果是那样的。只能建议你每一步都检验结果是否正确，就可以了。事实上，老黄也是这样一步一步推导出来的。这是一种最原始的数学推导方法，适合老黄这种脑子近似原始人的人。聪明的你一定一眼就能看明白吧！
运用这个公式来解决问题，可一点儿也不轻松哦，比如下面这两道例题：
例1：若y’+y=3x^3-x^2+2, 求y.
解：y=Ce^(-kx)+∑(i=0->n)(∑(j=i->)(-1)^(j-i)*j!*aj/(i!*k^(j-i+1)))*x^i【不熟练的情况下，把公式写下来，或者抄下来，这里n=3, k=1, a0=2, a1=0, a2=-1, a3=3，想一骨脑全部代入公式中，还做不到呢】
=Ce^(-x)+∑(i=0->n)(∑(j=i->n)(-1)^(j-i)*j!*aj/(i!*k^(j-i+1)))*x^i【这种求和公式中又嵌套了求和公式的式子，展开起来真的相当废脑汁的。用这个形式做答案，并附上各参数的量，其实也是可以的。不过老黄还是把它展开了】
=Ce^(-x)+3x^3+(-1-9)x^2+(2+18)x+(2-2-18)
=Ce^(-x)+3x^3-10x^2+20x-18.
已检验结果正确。k=1，其实相对来说还是蛮简单的。下面例2的k=-2，就会更加复杂。
例2：若y’-2y=8x^4-6x+4, 求y.
解：y=Ce^(2x)+∑(i=0->n)(∑(j=i->n)(-1)^(j-i)*j!*aj/(i!*k^(j-i+1)))*x^i【其中 a0=4, a1=-6, a2=a3=0，a4=8. 老黄已经尽可能地降低难度了，有两个系数都被老黄设为0了】
=Ce^(2x)-4x^4-8x^3-12x^2-9x-6.5.
别看就这两步，把老黄给求吐血了。结果也已经检验正确了。
最后再看一道练习：
若y’+y/2=2x^4-x^2+3x, 求y.
这回老黄只给图片答案如下：(当然，结果也是经过检验的了)
最后把公式整理出来，并且特别提出当n=1时的特例，因为老黄解决网友分享的题目，只需要用到这个公式特例就够了。其它部分，完全就是老黄吃饱撑的才会去探究的。
老黄满嘴跑火车，但其实老黄说什么一点都不重要，重要的是知识本身，希望小伙伴们能够看清楚实质和重点，不要跟老黄计较嘴上的功夫。稍稍告诉你一个秘密，满嘴跑火车的人脑筋大条，虽然不够灵活，不够聪明，但是胜在耐磨，经得住摧残，如果用来探究知识，还挺靠谱的呢！
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