IEEE 浮点数格式

LiYanrui posted @ 2 年前 in 程序设计 with tags IEEE Float , 4023 阅读

IEEE 754 标准规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。《编程卓越之道》第一部的 4.2 节对这些浮点数格式已进行了详细的讲解，为了让读书笔记更像读书笔记，本文只道出个人的一些理解以及一些疑惑之处。

IEEE 浮点数标准的由来

话说 Intel 计划给最早的 8086 增加浮点运算单元 (FPU) 时，他们请来了最好的数值分析专家来为 8087 FPU 设计浮点数格式，这位专家接着又请来了该领域的另外两位专家，这三个人 (Kahn, coonan 与 Stone) 设计了 Intel 的浮点格式，即 KCS 浮点数标准。这个标准实在太出色了，因此 IEEE 组织将 KCS 选作为 IEEE 浮点数格式的基础，即 IEEE 标准 754。

单精度浮点数

IEEE 754 标准所定义的单精度浮点数的长度为 32 位，按位域可划分为：符号位、阶码位与尾数位，如下：

  31----------------------22---------------------------------------------------------0|                       |                                                          |X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X| |-------------------| |----------------------------------------------------------|符号        阶码                                     尾数

符号位取 0 表示正数，取 1 表示负数。

阶码位是 8 位，这里有一点小门道需要注意，那就是

的指数 n 并不能直接当作阶码来处理，需要将其与 127 (0x7f) 相加才可得到

的阶码表示。

尾数的位域长度在图示中是 23 位，但实际上却是 24 位，这个位是“不可见”的，其值固定为 1，这也就是说 IEEE 754 标准所定义的浮点数，其有效数字是介于 1 与 2 之间的小数。

可以尝试写一下 1.0 这个数的二进制单精度浮点格式，这有助于更好地理解单精度浮点数格式的位域分布。

1.0 的二进制单精度浮点格式：0 0111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

值得注意的一个问题是：书上说之所以要将指数加上 127 来得到阶码，是为了简化浮点数的比较运算，这一点我没有体会出来。但是通过 127 这个偏移量 (移码)，可以区分出指数的正负。阶码为 127 时表示指数为 0；阶码小于 127 时表示负指数；阶码大于 127 时表示正指数。

第二个值得思考的问题是：使用 24 位尾数，大概可以得到

个十进制数字的精度，其中的“半个”数字由 FPU 的好意而产生的一个随机数字，这个数字通常接近 5 (四舍五入？)。

第三个问题是我经常要碰到的：IEEE 754 标准所定义的单精度浮点数所表示的数的范围是多少？书上给出的答案是大约为

或者大约

。这个比较好理解，因为尾数的最大值是接近 2，而指数的范围是 [-127, 127]，那么这个范围就可以表示为

。

双精度浮点数

相对于单精度浮点数格式，双精度的阶码变为 11 位，移码变为为 1,023，尾数变为 53 位 (包含那个固定为 1 的隐含位)。这样，再加上符号位，双精度浮点数的长度为 64 位，提供了大约

的动态范围以及

个数字的精度。

扩展精度浮点数

为了追求更高的浮点运算精度，Intel 又搞出来扩展精度格式。扩展精度的浮点数长度为 80 个位，相对于双精度浮点数所多出来的 16 个位，有 12 位加入到尾数位中，有 4 位加入到阶码位中。

据说 Intel IA32 架构的的 FPU都是采用扩展精度浮点数进行运算的。当程序调入单、双精度浮点数时，FPU 将它们转为扩展精度，运算结束后再将结果转成 (四舍五入) 对应的单、双精度浮点数。

无匹配

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